"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Правильная пирамида — это пирамида с правильным многоугольником в основании, высота которой опускается в центр этого многоугольника. Благодаря такому расположению вершины боковые рёбра равны, а боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники. Высота грани называется апофемой пирамиды. Эти свойства позволяют находить площадь боковой поверхности, высоту и рёбра с помощью периметра основания, радиусов окружностей и теоремы Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — это пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Центр одинаково удалён от вершин и сторон основания, поэтому расположение вершины пирамиды обладает симметрией. Это определение помогает сразу увидеть равенство боковых рёбер и граней.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Она перпендикулярна стороне основания и не обязана совпадать с боковым ребром. Апофема нужна, чтобы вычислять площадь боковых граней и всей боковой поверхности.
Боковая поверхность пирамиды — сумма площадей всех её боковых граней; её площадь обозначают Sбок. У правильной пирамиды грани равны, поэтому можно найти площадь одной из них и умножить на число граней. Удобнее также пользоваться формулой через периметр основания и апофему.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания; обычно её обозначают h. Она измеряет расстояние от вершины до плоскости основания, а не до одной из его вершин. Высота образует прямоугольные треугольники, с помощью которых находят другие элементы пирамиды.
У правильного многоугольника есть центр, равноудалённый от всех его вершин; это центр описанной окружности основания. Если вершина пирамиды проектируется именно в этот центр, то от вершины пирамиды до любой вершины основания получаются одинаковые прямоугольные треугольники. Их один катет — высота пирамиды, а другой — радиус описанной окружности. Поэтому гипотенузы, то есть боковые рёбра, равны. Центр также равноудалён от сторон основания, поскольку он является центром вписанной окружности.
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными боковым рёбрам пирамиды. Основания этих треугольников — стороны правильного многоугольника, а все такие стороны равны. Следовательно, у всех боковых граней совпадают три соответствующие стороны, и треугольники равны. Отсюда следует, что их площади и высоты к основаниям также одинаковы.
Апофема каждой грани опускается из общей вершины пирамиды на сторону основания. В правильном основании центр, середина стороны и вершина пирамиды лежат в одной плоскости; отрезок от центра основания до середины стороны равен радиусу вписанной окружности r. Высота пирамиды h перпендикулярна плоскости основания, а значит, и этому отрезку. Получается прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l: l² = h² + r². Так связь апофемы с высотой позволяет переходить от одного элемента к другому.
Пусть в основании n сторон, а длина стороны равна a. Площадь каждой боковой грани равна ½al, потому что l — высота этого треугольника к стороне a. Складывая площади n одинаковых граней, получаем Sбок = n · ½al = ½Pl, где P = na — периметр основания. Формула работает для любого правильного многоугольника в основании, если известны его периметр и апофема пирамиды.
Для вычислений часто достаточно радиуса окружности основания. Если d — боковое ребро, то вместе с высотой h и радиусом описанной окружности R оно образует прямоугольный треугольник: d² = h² + R². Апофема пирамиды связана не с R, а с радиусом вписанной окружности r: l² = h² + r². Зная любые два элемента соответствующего треугольника, можно найти третий по теореме Пифагора; важно не перепутать, откуда измеряется расстояние до вершины и до стороны основания.
| Элемент или характеристика | Что это означает | Основная связь |
|---|---|---|
| Основание | Правильный многоугольник | Его стороны равны; известны периметр P и радиусы R, r |
| Проекция вершины | Основание высоты пирамиды | Совпадает с центром основания |
| Боковые рёбра и грани | Рёбра равны, грани — равные равнобедренные треугольники | d² = h² + R² |
| Высота пирамиды | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | h² = l² − r² или h² = d² − R² |
| Апофема пирамиды | Высота боковой грани | l² = h² + r² |
| Площадь боковой поверхности | Сумма площадей боковых граней | Sбок = ½Pl |
Пользуйтесь таблицей, начиная с того, что дано в задаче: например, боковое ребро связано с R, а апофема — с r. Для нахождения неизвестной длины выберите соответствующую формулу и проверьте, что радиус относится к нужной окружности. Периметр в формуле площади — сумма всех сторон основания, а не длина одной стороны.
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота — 4. Найдите апофему пирамиды. Апофема основания квадрата — расстояние от его центра до стороны, то есть половина стороны; она вместе с высотой пирамиды образует прямоугольный треугольник с искомой апофемой. Поэтому сначала найдём этот катет, затем применим теорему Пифагора.
Находим апофему квадрата: r = 6/2 = 3. Это расстояние от центра основания до середины любой его стороны.
Записываем связь элементов: l² = h² + r². Подставляем данные: l² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
Извлекаем квадратный корень: l = 5. Длина положительна, поэтому берём положительное значение корня.
Ответ: 5.
Основание правильной треугольной пирамиды имеет сторону 8, а боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды. Для такого треугольника сначала нужен радиус описанной окружности: он соединяет центр основания с вершиной треугольника. Затем боковое ребро, высота и этот радиус образуют прямоугольный треугольник.
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника со стороной a равен R = a/√3. Поэтому при a = 8 получаем R = 8/√3.
По теореме Пифагора для бокового ребра d: h² = d² − R². Подставляем значения: h² = 5² − (8/√3)² = 25 − 64/3 = 11/3.
Берём положительный корень, поскольку высота — длина: h = √(11/3) = √33/3. Результат действителен: квадрат бокового ребра больше квадрата радиуса.
Ответ: √33/3.
Правильная шестиугольная пирамида имеет сторону основания 4 и апофему 7. Найдите площадь боковой поверхности и высоту пирамиды. Площадь найдём по периметру основания, а высоту — из прямоугольного треугольника с апофемой пирамиды и апофемой шестиугольника. В этих вычислениях используются разные связи: сначала периметр, затем радиус вписанной окружности.
Периметр основания равен P = 6 · 4 = 24. Поэтому Sбок = ½Pl = ½ · 24 · 7 = 84.
Апофема правильного шестиугольника со стороной a равна r = a√3/2. При a = 4 получаем r = 2√3.
Связь с высотой пирамиды имеет вид l² = h² + r². Тогда h² = 7² − (2√3)² = 49 − 12 = 37, откуда h = √37.
Ответ: площадь боковой поверхности — 84, высота — √37.
Считать пирамиду правильной только потому, что её боковые рёбра равны. Равные рёбра сами по себе не гарантируют, что основание — правильный многоугольник, а высота падает в его центр. Проверяйте оба условия определения: правильность основания и положение основания высоты.
Принимать апофему за боковое ребро. Их легко спутать, потому что обе длины идут от вершины пирамиды к основанию, но ребро заканчивается в вершине многоугольника, а апофема — на стороне. На схеме или в условии отмечайте конечную точку отрезка и проверяйте, является ли он высотой боковой грани.
Опускать высоту пирамиды на вершину основания. Высота перпендикулярна всей плоскости основания и в правильной пирамиде заканчивается в его центре, а отрезок к вершине основания — боковая проекция, не высота. Самопроверка: убедитесь, что в построенном треугольнике высота перпендикулярна плоскости основания.
Подставлять в формулу Sбок площадь одной грани или длину стороны вместо периметра. Так теряются остальные грани либо множитель, учитывающий их число. Проверьте вычисление двумя способами: сложите площади граней или используйте ½Pl, где P — сумма всех сторон основания.
Для изучения правильной пирамиды нужны понятия пирамиды, правильного многоугольника, высоты и площади треугольника. Теорема Пифагора помогает связывать высоту пирамиды, апофему и радиус вписанной окружности, а также высоту, боковое ребро и радиус описанной окружности. Поэтому пригодится умение находить радиусы правильных многоугольников.
Дальше свойства правильной пирамиды используются при вычислении площадей и объёмов многогранников. Те же элементы помогают решать задачи на углы и расстояния в пространстве: сначала выделяют подходящий прямоугольный треугольник, а затем применяют известные геометрические соотношения.
Чем правильная пирамида отличается от произвольной?
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а основание её высоты совпадает с центром этого многоугольника. Поэтому боковые рёбра равны, а боковые грани равны между собой. У произвольной пирамиды таких свойств может не быть.
Почему у правильной пирамиды все боковые грани равны?
Центр правильного основания одинаково удалён от всех его вершин, поэтому вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины основания. Значит, все боковые рёбра равны. Боковые грани имеют равные основания и равные боковые рёбра, следовательно, они равны.
Где проходит высота правильной пирамиды?
Высота выходит из вершины пирамиды и перпендикулярна плоскости основания. Её основание находится в центре правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды.
Чем апофема пирамиды отличается от её бокового ребра?
Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. Апофема — это высота боковой грани: она идёт от вершины пирамиды к стороне основания и перпендикулярна этой стороне. Обычно апофема не равна боковому ребру.
Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Найдите периметр P основания и апофему l пирамиды, затем вычислите Sбок = ½Pl. Формула получается сложением площадей равных боковых треугольников. Апофему можно найти, например, по высоте пирамиды и апофеме основания.
23.2. Правильная пирамида
