23.1. Пирамида — частный случай конуса

Определения и обозначения

Конус — тело, состоящее из плоского основания и отрезков, соединяющих точки основания с одной общей точкой вне его плоскости. Общая точка называется вершиной. Такое определение позволяет рассматривать не только круглый конус, но и тела с другими основаниями.

Основание конуса — плоская фигура, все точки которой соединяются с вершиной. Его форма не обязана быть кругом: основанием может быть, например, треугольник или другой многоугольник. Форма основания определяет вид получившегося тела.

Вершина конуса — общая точка, соединённая отрезками со всеми точками основания. Для невырожденного тела она находится вне плоскости основания. Именно вершина объединяет все образующие тело отрезки.

Пирамида — конус, основанием которого служит многоугольник. Вершина пирамиды соединена с вершинами основания, а её боковые грани являются треугольниками. Поэтому название пирамиды уточняют по основанию: треугольная, четырёхугольная и так далее.

Как это устроено

Сначала выбирают плоскую фигуру — основание — и точку, не лежащую в его плоскости. Затем каждую точку основания соединяют с выбранной точкой отрезком. Совокупность основания и всех таких отрезков заполняет пространственное тело, потому что между вершиной и основанием образуется непрерывный набор соединяющих линий.

Если основание является многоугольником, особенно заметными становятся его вершины и стороны. Отрезки от вершины тела к вершинам многоугольника образуют боковые рёбра. Каждая сторона основания вместе с двумя рёбрами к её концам ограничивает треугольную боковую грань.

Пирамида является частным случаем конуса не из-за внешнего сходства, а по определению. В обоих случаях есть одна плоская фигура и одна общая вершина вне её плоскости, а тело заполняется отрезками между ними. Отличается только ограничение на основание: для пирамиды оно должно быть многоугольником.

У пирамиды отрезки к вершинам основания становятся её боковыми рёбрами, а части боковой поверхности — плоскими гранями. У конуса с произвольным основанием граница может иметь другую форму, поскольку она зависит от границы основания. Поэтому рёбра и треугольные грани характерны именно для многоугольного основания.

Конус с круглым основанием строится тем же способом, что и пирамида: круг и точка вне его плоскости соединяются отрезками. Но у круга нет конечного набора вершин и сторон, поэтому боковая поверхность не распадается на треугольники. Она является одной криволинейной поверхностью, тогда как у пирамиды поверхность составлена из плоских частей.

Сопоставление конуса и пирамиды

Сначала по таблице определите форму основания, а затем проверьте положение вершины и способ построения тела. Если основание многоугольное, перед вами пирамида. Если основание круглое, речь идёт о привычном круглом конусе.

Строка о боковой поверхности помогает не смешивать два объекта. Общее построение у них одинаково, но набор граней и рёбер появляется только при многоугольном основании.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли телом, построенным из вершины и многоугольного основания, конусом по общему определению.

Условие. Дано тело, полученное из многоугольника и точки, расположенной вне плоскости этого многоугольника. Все точки основания соединены отрезками с данной точкой. Нужно проверить, является ли тело конусом.

1. Выделим основание: им служит плоский многоугольник.
2. Проверим наличие общей вершины: одна точка находится вне плоскости основания и соединена с каждой его точкой.
3. Сопоставим описание с определением конуса. Все необходимые элементы присутствуют, значит, тело является конусом; из-за многоугольного основания его также называют пирамидой.

Ответ: да, тело является конусом в общем смысле. Точнее, это пирамида — конус с многоугольным основанием.

Задача 2. Объясните, почему треугольная пирамида является конусом.

Условие. Основанием тела служит треугольник, а вне его плоскости выбрана точка, соединённая с точками треугольника. Требуется обосновать, что полученное тело является конусом.

1. Треугольник является плоской фигурой и одновременно многоугольником, поэтому он подходит под роль основания конуса.
2. Выбранная точка является общей вершиной, поскольку отрезки проведены к точкам основания.
3. По общему определению тело, состоящее из основания и таких соединяющих отрезков, является конусом. Так как основание треугольное, его называют треугольной пирамидой.

Ответ: треугольная пирамида является конусом, потому что имеет плоское основание и одну общую вершину вне его плоскости. Её боковые грани получаются из трёх сторон треугольника и общей вершины.

Задача 3. Докажите, что любая пирамида является частным случаем конуса, и укажите отличие боковой поверхности.

Условие. Нужно сопоставить определения пирамиды и конуса, а затем сравнить боковую поверхность пирамиды с боковой поверхностью конуса, имеющего круглое основание.

1. У любой пирамиды есть многоугольное основание и вершина вне плоскости основания.
2. Вершина соединена отрезками со всеми точками основания, поэтому выполнено общее условие построения конуса.
3. Следовательно, пирамида входит в класс конусов. Её боковая поверхность состоит из треугольных плоских граней, а у круглого конуса является единой криволинейной поверхностью.

Ответ: любая пирамида — частный случай конуса с многоугольным основанием. Главное отличие от круглого конуса заключается в форме основания и в том, что боковая поверхность пирамиды разбита на грани.

Типичные ошибки

Считать, что основанием конуса может быть только круг. Так думают из-за привычного образа круглого конуса в стереометрии. Проверьте себя: если в определении сказано «плоская фигура», а не «круг», многоугольник тоже допустим.

Путать общий конус с конусом, имеющим круглое основание. В школьных задачах словом «конус» часто называют именно круглый конус, поэтому пирамида кажется отдельным объектом. Сверьте определение: одна вершина и плоское основание объединяют оба тела.

Называть боковой поверхностью пирамиды одну плоскость. Одна плоскость не может содержать все боковые рёбра невырожденной пирамиды. Проверьте число сторон основания: каждой стороне соответствует отдельная треугольная боковая грань.

Полагать, что вершина может лежать в плоскости основания. В таком случае соединяющие отрезки не образуют обычное объёмное тело, и пирамида вырождается. Для проверки убедитесь, что вершина находится вне плоскости основания.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определения многогранника, многоугольника, грани, ребра и вершины. Они помогают описывать устройство пирамиды и отличать её части друг от друга. Особенно важно понимать, что грань является частью поверхности, а ребро — линией пересечения граней.

Тема опирается на представление о сечениях и о телах, получаемых соединением точек плоской фигуры с одной точкой. Такой способ построения объясняет, почему основание и вершина задают всё тело. Он же помогает мысленно переходить от круглого основания к многоугольному.

Различение общего конуса и конуса с круглым основанием пригодится при изучении свойств, сечений и объёмов пространственных тел. Форма основания влияет на вид сечения и на устройство боковой поверхности. Поэтому определение нужно учитывать до применения формул.

Что запомнить

• Конус строится из плоского основания и одной общей вершины.
• Основание конуса не обязано быть круглым.
• Пирамида — конус с многоугольным основанием.
• Боковые грани пирамиды — треугольники.
• Круглый конус и пирамида различаются формой основания и устройством боковой поверхности.