"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Пирамида — многогранник с многоугольником в основании и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине. Её описывают через основание, боковые рёбра, высоту и грани; эти элементы помогают находить объём и площадь поверхности. Для правильной пирамиды используют апофему — высоту боковой грани, с помощью которой удобно вычислять площадь всех боковых граней сразу. Понимание этих понятий пригодится при изучении многогранников, сечений и составных тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, основанием которого служит многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Обычно вершину обозначают S, а вершины основания — A₁, A₂, …, Aₙ; тогда пирамиду можно назвать SА₁A₂…Aₙ. Такое обозначение показывает, какие точки образуют её основание и где сходятся боковые грани.
Основание пирамиды — многоугольник, не содержащий общей вершины боковых граней. Его называют по числу сторон: например, при треугольном основании пирамида треугольная, при пятиугольном — пятиугольная. Площадь основания обычно обозначают Sосн, а его периметр — Pосн; эти величины нужны для вычисления объёма и площади поверхности.
Боковая грань — один из треугольников, образующих поверхность пирамиды; боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания. Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Различение рёбер и граней помогает правильно считать элементы и составлять формулы площади.
Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании, а её высота опускается в центр этого многоугольника. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к стороне основания. Эти условия выделяют особый случай, в котором боковые грани равны и площадь боковой поверхности можно находить одной формулой.
Чтобы представить пирамиду, возьмём многоугольник и точку вне его плоскости. Соединим эту точку с каждой вершиной многоугольника: вместе с его сторонами получим треугольники, а многоугольник станет основанием. Каждый боковой треугольник опирается на одну сторону основания, а все они сходятся в выбранной точке, поэтому и образуется замкнутая поверхность многогранника.
Если у основания n сторон, каждой из них соответствует ровно одна боковая грань, поэтому боковых граней n. Из вершины пирамиды к каждой вершине основания идёт одно боковое ребро, значит, их тоже n. Всего граней n + 1, если учесть основание, а вершин n + 1, если добавить вершину пирамиды к n вершинам основания. Эти подсчёты полезны, чтобы проверять чертёж и не пропустить элемент.
Объём пирамиды находят по формуле V = ⅓ Sосн h, где Sосн — площадь основания, а h — высота пирамиды. Высотой называют перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания, потому что именно оно задаёт расстояние между основанием и вершиной в направлении, перпендикулярном основанию. Наклонное боковое ребро такой высотой не является и в формулу вместо h не подставляется.
Полная поверхность состоит из основания и всех боковых граней, поэтому Sполн = Sосн + Sбок. У правильной пирамиды одинаковые боковые грани, а их высоты равны апофеме l. Площадь каждой грани равна половине произведения её стороны на l; при сложении все стороны основания дают периметр Pосн, откуда Sбок = ½ Pосн l. Для пирамиды общего вида высоты боковых треугольников могут различаться, поэтому площади граней складывают отдельно.
В правильной пирамиде проведём высоту к центру основания, апофему — к середине стороны, а в основании выделим отрезок от центра до этой середины. Последний отрезок перпендикулярен стороне правильного многоугольника, а высота перпендикулярна всей плоскости основания; значит, они образуют прямой угол. Получается прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l, поэтому по теореме Пифагора l² = h² + r². Эта связь позволяет найти апофему, если известны высота и расстояние от центра основания до его стороны.
| Что рассматривается | Обозначение или формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Основание и его площадь | Многоугольник; Sосн | Многоугольник, не содержащий вершину пирамиды; Sосн — его площадь. |
| Высота пирамиды | h | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания. |
| Число боковых граней при n-угольном основании | n | По одной треугольной грани на каждую сторону основания. |
| Объём пирамиды | V = ⅓ Sосн h | Треть произведения площади основания на высоту. |
| Площадь полной поверхности | Sполн = Sосн + Sбок | Сумма площадей основания и всех боковых граней. |
| Площадь боковой поверхности правильной пирамиды | Sбок = ½ Pосн l | Pосн — периметр основания, l — апофема. |
Сначала определите, какие элементы известны и к какому типу пирамиды относится задача. Формулу боковой поверхности через апофему выбирайте только для правильной пирамиды. Перед вычислением объёма проверьте, что задана именно высота, а не наклонное ребро.
Задача 1. Основание пирамиды — пятиугольник. Определите число боковых граней, боковых рёбер и всех граней. Поскольку число сторон основания равно пяти, будем сопоставлять каждому элементу основания соответствующую часть пирамиды. В конце отдельно учтём основание при подсчёте всех граней.
Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 граней всего. Способ подсчёта основан на том, что каждая сторона основания задаёт одну боковую грань, а основание считают отдельно.
Задача 2. Площадь основания пирамиды равна 36 см², высота — 5 см. Найдите объём. Для объёма нужны площадь основания и перпендикулярная высота; обе величины уже даны, поэтому остаётся подставить их в формулу. Единицы площади и длины дают в результате кубические сантиметры.
Ответ: 60 см³. Проверка единиц показывает, что площадь в см² умножается на высоту в см, поэтому объём выражен в см³.
Задача 3. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания 10 см и высоту 12 см. Найдите апофему и площадь полной поверхности. Основание — квадрат, поэтому расстояние от его центра до середины стороны равно половине стороны, то есть 5 см. Высота, это расстояние и апофема образуют прямоугольный треугольник.
Ответ: апофема равна 13 см, полная площадь поверхности — 360 см². Сначала мы нашли наклонную высоту боковой грани через прямоугольный треугольник, затем использовали её в формуле площади правильной пирамиды.
Высоту пирамиды иногда путают с боковым ребром или апофемой. Причина в том, что все эти отрезки выходят из вершины, но только высота перпендикулярна плоскости основания, а апофема лежит в боковой грани. Проверьте, куда проведён отрезок: к плоскости основания, к его вершине или к стороне основания.
В формулу объёма могут подставить длину бокового ребра вместо высоты. Ребро наклонено к основанию, поэтому оно не задаёт нужное перпендикулярное расстояние. Для самопроверки обозначьте на чертеже прямой угол между высотой и плоскостью основания и используйте именно этот отрезок.
Формулу Sбок = ½ Pосн l иногда применяют к любой пирамиде. Она удобна, но требует, чтобы все боковые грани имели общую высоту — апофему, что верно для правильной пирамиды. Если пирамида не правильная, найдите площадь каждого бокового треугольника отдельно и сложите результаты.
При вычислении полной поверхности можно забыть основание или не учесть все боковые грани. Так происходит, когда площадь одной части поверхности принимают за площадь всей. Запишите перед вычислениями Sполн = Sосн + Sбок и проверьте, что Sбок включает каждую боковую грань.
Для работы с пирамидами нужны знания о многогранниках, свойствах многоугольников и площадях плоских фигур: боковые грани — треугольники, а основание может быть разным многоугольником. Теорема Пифагора связывает высоту правильной пирамиды, апофему и расстояние от центра основания до стороны. Формула объёма используется при изучении объёмов многогранников и составных тел. Высота и апофема также помогают находить элементы правильных многогранников и решать задачи на сечения.
Чем высота пирамиды отличается от бокового ребра?
Высота — перпендикуляр, проведённый от вершины пирамиды к плоскости основания. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания и обычно наклонено к плоскости основания.
Почему в формуле объёма пирамиды появляется множитель 1/3?
При одинаковых основании и высоте объём пирамиды составляет треть объёма призмы. Поэтому объём вычисляют как V = ⅓ Sосн h, где h — именно перпендикулярная высота.
Всегда ли боковые грани пирамиды равны?
Нет. У произвольной пирамиды боковые треугольники могут отличаться сторонами и площадями. У правильной пирамиды они равны, поскольку основание правильное, а вершина расположена над его центром.
Что называют апофемой пирамиды?
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к стороне основания. Она лежит в боковой грани и используется при вычислении площади боковой поверхности.
Можно ли найти площадь боковой поверхности по формуле через периметр основания у любой пирамиды?
Нет, формула Sбок = ½ Pосн l применима к правильной пирамиде. В ней все боковые грани имеют одинаковую высоту — апофему l; у произвольной пирамиды площади треугольников нужно складывать отдельно.
§ 23. Пирамиды
