23.3. Симметрия правильной пирамиды

Определения и обозначения

Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр основания. Обозначим вершину пирамиды буквой S, центр основания — O; прямая SO называется осью пирамиды. Такое обозначение помогает сразу видеть, вокруг какой прямой рассматривают вращения фигуры.

Ось симметрии правильной пирамиды — прямая SO, при повороте вокруг которой на некоторые углы пирамида совмещается сама с собой. Такие повороты возможны потому, что правильный многоугольник основания обладает поворотной симметрией. Ось нужна, чтобы задавать положение и величину преобразования.

Плоскость симметрии пирамиды — плоскость, отражение относительно которой переводит пирамиду в себя. Она содержит ось SO и пересекает основание по одной из осей симметрии его многоугольника. Это позволяет искать плоскости симметрии пространственной фигуры по уже известным свойствам основания.

Поворотная симметрия — совмещение фигуры с собой при повороте вокруг её оси. Для пирамиды угол поворота должен переводить вершины основания в вершины того же многоугольника. Поворот на полный угол тоже учитывается: он ничего не меняет и является тождественным преобразованием.

Как это устроено

При любом преобразовании симметрии вершина пирамиды должна перейти в точку этой же пирамиды. Вершина у неё одна, поэтому она обязана остаться на месте. Для вращения вокруг прямой это означает, что ось должна проходить через S; кроме того, основание должно оставаться в своей плоскости, а ось вращения — быть перпендикулярной ей. У правильной пирамиды такой прямой является SO, проходящая через центр основания.

После фиксации вершины поворот вокруг SO действует на основание как поворот вокруг его центра O. Если в основании правильный n-угольник, его соседние вершины расположены через одинаковые центральные углы 360°/n. Поэтому наименьший ненулевой поворот, при котором вершины переходят в вершины, равен 360°/n. Меньший угол сдвинул бы каждую вершину в положение, где соответствующей вершины многоугольника нет.

Все подходящие углы получаются последовательным прибавлением шага 360°/n: 0°, 360°/n, 2·360°/n и так далее до (n − 1)·360°/n. Следующий шаг даёт 360°, то есть возвращает фигуру в исходное положение. Таким образом, имеется n различных поворотов, если считать и тождественный; поворот на 360° не является ещё одним новым положением.

При отражении вершина S также должна остаться на месте. Плоскость отражения проходит через S, а поскольку она сохраняет основание, пересекает его по прямой, которая является осью симметрии основания. Центр O лежит на каждой такой оси многоугольника, поэтому плоскость содержит и O, и S, то есть ось SO. Так устанавливается связь между плоскостями симметрии пирамиды и симметриями основания.

У правильного n-угольника ровно n осей симметрии, следовательно, столько же плоскостей симметрии у пирамиды. Если n нечётно, каждая ось основания проходит через одну вершину и середину противоположной стороны. Если n чётно, имеются два типа осей: через противоположные вершины и через середины противоположных сторон. Каждая из этих осей задаёт свою плоскость, содержащую ось пирамиды.

Симметрии правильной пирамиды с n-угольным основанием

Сначала определите число сторон n у основания, затем используйте соответствующую строку таблицы. Для поворотов найдите шаг 360°/n и не забудьте включить тождественный поворот. Для плоскостей найдите оси симметрии многоугольника и проведите через каждую из них плоскость, содержащую SO.

Разбор задач

Ось вращения и плоскости симметрии четырёхугольной пирамиды

Условие. У правильной четырёхугольной пирамиды назвать ось вращения и определить число плоскостей симметрии. Основание здесь — квадрат, поэтому его симметрии подскажут ответ о пирамиде. Решение удобно разделить на определение оси и подсчёт плоскостей.

1. Обозначим вершину пирамиды через S, центр квадрата — через O. Ось вращения — прямая SO, поскольку при вращении вершина должна оставаться на месте, а центр квадрата является центром его поворотов.
2. У квадрата четыре оси симметрии: две диагонали и две прямые, соединяющие середины противоположных сторон. Через каждую из этих осей и прямую SO проходит плоскость симметрии пирамиды.
3. Получаем четыре плоскости. Других нет, потому что любая плоскость отражения пирамиды должна пересекать основание по оси симметрии квадрата.

Ответ: ось вращения — прямая через вершину и центр основания; плоскостей симметрии четыре.

Повороты правильной шестиугольной пирамиды

Условие. Перечислить углы поворотов вокруг оси, при которых правильная шестиугольная пирамида совмещается сама с собой, и указать их число. В основании шесть вершин, равномерно расположенных вокруг центра. Поэтому искомые повороты соответствуют всем сдвигам на целое число шагов между соседними вершинами.

1. Здесь n = 6, значит, минимальный ненулевой угол равен 360°/6 = 60°.
2. Прибавляя по 60°, получаем углы от 0° до 300°: 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. Угол 0° можно также записать как поворот на 360°.
3. Углы дают шесть различных преобразований. Следующий угол, 360°, повторяет исходное положение, поэтому отдельным седьмым поворотом его не считают.

Ответ: 0°, 60°, 120°, 180°, 240° и 300°; всего шесть поворотов, включая тождественный.

Плоскости симметрии правильной пятиугольной пирамиды

Условие. Описать все плоскости симметрии правильной пятиугольной пирамиды и доказать, что иных нет. Поскольку основание — правильный пятиугольник, у него пять осей симметрии. Нужно связать каждую из них с плоскостью пирамиды и исключить возможность других плоскостей.

1. Каждая ось симметрии пятиугольника проходит через одну вершину и середину противоположной стороны. Через такую ось основания и ось пирамиды SO проведём плоскость.
2. Отражение относительно этой плоскости сохраняет основание: вершина, лежащая на оси, остаётся на месте, а остальные вершины попарно меняются местами. Вершина S тоже лежит в плоскости и не перемещается, поэтому вся пирамида совмещается сама с собой.
3. Обратно, любая плоскость симметрии должна оставить вершину S на месте и отражением сохранить основание. Её след в плоскости основания обязан быть осью симметрии пятиугольника, а сама плоскость содержит SO. Иных осей основания нет, значит, иных плоскостей пирамиды тоже нет.

Ответ: пять плоскостей; каждая проходит через вершину пирамиды и одну из пяти осей симметрии основания.

Типичные ошибки

Не следует считать осью вращательной симметрии высоту боковой грани. Такая прямая обычно не проходит через центр основания, поэтому вращение вокруг неё не сохраняет основание. Проверь себя: ось должна соединять вершину пирамиды с центром основания.

При подсчёте поворотов иногда забывают тождественный поворот, потому что фигура визуально не меняет положения. Но он тоже является преобразованием, совмещающим пирамиду с собой. Проверь список углов: для n-угольного основания должно получиться n преобразований, включая угол 0° (или 360°).

Не всякая плоскость, проведённая через ребро, является плоскостью симметрии. Её след в основании должен быть осью симметрии многоугольника, иначе отражённые вершины основания не совпадут с его вершинами. Перед ответом сопоставь выбранное ребро или направление с осями симметрии основания.

Плоскость основания также не является плоскостью симметрии: отражение перенесло бы вершину на противоположную сторону основания, где пирамида не существует. Ошибку легко проверить, проследив, куда перейдёт S. Для плоскости симметрии вершина должна остаться на месте.

Связь с другими темами

Для изучения симметрии пирамиды нужно знать её определение и свойства правильного многоугольника: число осей, расположение вершин и возможные повороты. Эти сведения позволяют перейти от плоской фигуры основания к пространственной фигуре без перебора всех её элементов. Тема связана с пространственными преобразованиями и симметриями многогранников. Она также помогает в задачах на сечения и расположение элементов пирамиды: симметрия подсказывает, какие элементы равны и как они расположены.

Что запомнить

• Ось вращательной симметрии правильной пирамиды проходит через вершину и центр основания.
• Поворотная симметрия пирамиды определяется симметриями её основания.
• При основании — правильном n-угольнике минимальный ненулевой угол поворота равен 360°/n.
• Поворотов, совмещающих пирамиду с собой, включая тождественный, — n.
• Каждая плоскость симметрии пирамиды проходит через её ось.
• Число плоскостей симметрии правильной пирамиды с n-угольным основанием равно n.