"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Многогранный угол образуют несколько лучей с общим началом: соседние лучи задают плоские углы, а вместе они ограничивают часть пространства. Такой угол помогает описывать, как сходятся грани у вершины многогранника, например у пирамиды. Важно различать его элементы: лучи являются рёбрами, плоские углы между соседними рёбрами — гранями. Для выпуклого многогранного угла сумма плоских углов всегда меньше 360°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранный угол образован несколькими лучами с общим началом, расположенными вокруг него в определённом порядке. Каждая пара соседних лучей задаёт плоский угол, а все такие углы вместе ограничивают часть пространства. Это понятие позволяет описать пространственную фигуру, возникающую там, где сходятся несколько плоских граней.
Вершина многогранного угла — общее начало всех лучей, которые его образуют. От вершины удобно отсчитывать рёбра и рассматривать углы между ними. Например, если лучи начинаются в точке O, то O — вершина многогранного угла.
Ребро многогранного угла — один из лучей, выходящих из вершины. Рёбра задают направления, в которых расходятся грани. Чтобы не перепутать элементы, ребро на рисунке отмечают как луч, например OA, а не как плоскую область между лучами.
Грань многогранного угла — плоский угол, образованный двумя соседними рёбрами. Она лежит в плоскости этих рёбер и соединяет их как часть границы угла. Такое различие помогает правильно называть элементы и определять, какие рёбра образуют конкретную грань.
Представь, что из одной точки выходят три или больше лучей. Между каждой парой соседних лучей появляется плоский угол, а эти углы располагаются вокруг общей вершины. Их стороны совместно задают границу части пространства, поэтому фигура называется многогранным углом. Если лучей меньше трёх, такой границы из нескольких граней не получится.
Рёбра рассматривают в порядке их расположения вокруг вершины. Именно соседние в этом порядке рёбра образуют одну грань: если взять несоседние, получится плоский угол, который может не быть частью границы рассматриваемого угла. Обходя все рёбра по кругу, получают полный набор граней. Поэтому у обычного многогранного угла столько же граней, сколько рёбер.
Выпуклый многогранный угол — такой угол, что отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри него. Это определение проверяют не по внешнему виду отдельных граней, а по всему пространственному углу. Выпуклость важна, потому что для такого угла верны общие свойства, например ограничение на сумму плоских углов. Если найдутся две точки, соединяющий отрезок которых выходит за границу, угол невыпуклый.
Чтобы увидеть связь между пространственным углом и плоской фигурой, проводят плоскость, которая пересекает все его рёбра. На каждом ребре получается точка пересечения, а соседние точки соединяются отрезками, лежащими в гранях. В результате образуется многоугольник — сечение угла этой плоскостью. Такое сечение удобно: оно показывает расположение рёбер и помогает рассматривать пространственную фигуру на плоскости.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Если мысленно обойти вершину по направлениям рёбер, грани занимают вокруг неё лишь часть полного оборота: выпуклый угол ограничивает одну выпуклую область, а не заполняет всё пространство вокруг вершины. Поэтому равенство 360° невозможно; сумма не может быть и больше 360°, иначе направления граней перекрывали бы полный оборот. Это свойство позволяет быстро проверять, могут ли заданные плоские углы образовать выпуклый многогранный угол.
| Элемент или свойство | Что означает | Как распознать на рисунке |
|---|---|---|
| Вершина | Общее начало всех рёбер-лучей. | Точка, из которой выходят лучи. |
| Ребро | Один из лучей многогранного угла. | Линия, начинающаяся в вершине и продолжающаяся в одном направлении. |
| Грань | Плоский угол между соседними рёбрами. | Область между двумя соседними лучами в их общей плоскости. |
| Выпуклый многогранный угол | Отрезок между любыми двумя его точками не выходит за пределы угла. | Проверяют по всему углу, а не только по отдельным граням. |
| Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла | Сумма углов всех его граней; она меньше 360°. | Складывают углы между всеми парами соседних рёбер. |
Пользуйся таблицей, сначала находя общую вершину, затем прослеживая выходящие из неё лучи. После этого выдели углы между соседними лучами: это грани. Для проверки выпуклого угла сложи величины всех плоских углов и сравни результат с 360°.
Задача 1. На рисунке с общей вершиной O отмечены лучи OA, OB и OC. Назовите рёбра и грани образованного трёхгранного угла. Нужно не смешать сами лучи с углами, которые они ограничивают. Поскольку угол трёхгранный, у него три ребра и три грани.
Ответ: рёбра — OA, OB, OC; грани — плоские углы AOB, BOC и COA.
Задача 2. Может ли выпуклый многогранный угол иметь плоские углы 120°, 110° и 130°? Здесь важно проверить не каждый угол отдельно, а их общую сумму. Для выпуклого многогранного угла она должна быть строго меньше 360°.
Ответ: нет, сумма равна 360°, а для выпуклого многогранного угла она строго меньше 360°.
Задача 3. У выпуклого четырёхгранного угла три плоских угла равны 80°, 95° и 100°. Какое ограничение накладывается на четвёртый угол? Обозначим его величину через x. Так как угол выпуклый, сумма всех четырёх плоских углов меньше 360°.
Ответ: четвёртый угол должен быть меньше 85°.
Ошибка: называть ребром плоский угол между лучами. Так происходит, потому что на рисунке лучи и область между ними видны рядом. Но ребро — это один луч, а плоский угол между соседними рёбрами — грань. Для самопроверки назови, что именно у тебя есть: линия-луч или область в плоскости.
Ошибка: считать любой набор лучей с общей вершиной выпуклым многогранным углом. Общая вершина сама по себе не гарантирует выпуклость: направления лучей могут задавать невыпуклую область. Выпуклость проверяют по определению — отрезок между любыми двумя точками угла не должен выходить наружу. Если такой отрезок найти можно, угол невыпуклый.
Ошибка: допускать сумму плоских углов, равную 360°. Иногда неравенство «меньше 360°» ошибочно заменяют на «не больше 360°». Для выпуклого многогранного угла сумма именно строго меньше полного оборота. Проверь вычисление и знак: при равенстве или превышении 360° условия задачи несовместимы с выпуклостью.
Ошибка: путать число рёбер с числом граней. Рёбра и грани — разные элементы, поэтому кажется, что их количества обязательно различаются. Однако при обходе рёбер вокруг вершины каждая соседняя пара задаёт грань, и в обычном многогранном угле число граней совпадает с числом рёбер. Пересчитай соседние пары по кругу: каждая грань должна встретиться один раз.
Перед изучением многогранных углов нужно знать, что такое луч и плоский угол, уметь находить вершину и понимать определение выпуклой фигуры. Эти понятия переносятся из планиметрии в пространство: вместо одной плоской области рассматривается угол, ограниченный несколькими гранями. Позже многогранный угол поможет описывать, как сходятся грани у вершины многогранника. Особенно наглядный пример — пирамида, боковые грани которой встречаются у её вершины.
Чем ребро многогранного угла отличается от его грани?
Ребро — это луч, выходящий из общей вершины. Грань — плоский угол, который образуют два соседних ребра.
Как определить число граней многогранного угла?
Нужно посчитать плоские углы между соседними рёбрами при обходе вокруг вершины. В обычном многогранном угле число таких граней совпадает с числом рёбер.
Что означает, что многогранный угол выпуклый?
Это означает, что отрезок между любыми двумя точками угла целиком остаётся внутри него. Если хотя бы часть такого отрезка выходит наружу, угол невыпуклый.
Почему сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°?
Направления рёбер выпуклого угла не могут заполнить полный оборот вокруг вершины: иначе грани не ограничивали бы одну выпуклую часть пространства. Поэтому сумма углов между соседними рёбрами строго меньше 360°.
Как сечение многогранного угла связано с многоугольником?
Плоскость, пересекающая все рёбра, отсекает на каждом из них точку. Соединяясь по граням, эти точки образуют стороны плоского многоугольника.
2.4. Многогранные углы
