"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Две сферы могут не иметь общих точек, касаться в одной точке, пересекаться по окружности или совпадать. Их взаимное расположение определяется радиусами и расстоянием между центрами. Если сферы пересекаются по окружности, её плоскость перпендикулярна прямой центров. Сравнение расстояния между центрами с суммой и разностью радиусов помогает заранее понять, какой случай реализуется, а затем найти положение и радиус общей окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние — радиусом; вместе они определяют положение и размер сферы. Если центр обозначен O, а радиус — R, то каждая точка сферы удалена от O ровно на R. Это определение позволяет описывать сферу через расстояния.
Пересечение двух сфер — множество точек, которые принадлежат обеим сферам одновременно. Оно может быть пустым, состоять из одной точки, быть окружностью или совпадать с целой сферой. По характеру пересечения можно понять, как расположены сферы относительно друг друга. Для этого сравнивают расстояние между центрами и радиусы.
Линия центров — прямая, проходящая через центры двух сфер. Она задаёт направление, относительно которого удобно исследовать их положение. Если сферы имеют общую окружность, положение её плоскости определяется именно этой прямой. Поэтому линия центров помогает перейти от пространственной задачи к расчётам в прямоугольном треугольнике.
Плоскость пересечения сфер — плоскость, содержащая общую окружность двух сфер, если они пересекаются по окружности. Она перпендикулярна линии центров и пересекает обе сферы по одной и той же окружности. Такое описание задаёт, где именно находится общее множество точек. При касании общей окружности нет: остаётся лишь одна общая точка.
Пусть сферы с центрами O₁ и O₂ имеют радиусы R₁ и R₂, а расстояние между центрами равно d. Любая их общая точка A обязана одновременно удовлетворять двум условиям: O₁A = R₁ и O₂A = R₂. Поэтому общая точка не может находиться произвольно в пространстве: её положение ограничено расстояниями до обоих центров. Множество точек, равноудалённых от двух фиксированных центров, лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку O₁O₂.
Если общие точки существуют и их больше одной, все они принадлежат этой плоскости. В ней пересечение каждой сферы с плоскостью является окружностью; поскольку точки этих двух окружностей одновременно принадлежат обеим сферам, они образуют общую окружность. Значит, плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров не случайно: это следует из условия равноудалённости от центров. При касании окружности уже нет, потому что плоскость касается сфер в единственной общей точке.
Чтобы найти расстояние от центра первой сферы до плоскости общей окружности, возьмём на окружности точку A и опустим перпендикуляр O₁H на плоскость. Треугольник O₁O₂A имеет стороны R₁ и R₂, а расстояние между центрами d; его высота O₁H показывает искомое расстояние. Если обозначить O₁H через x, то проекция отрезка O₁O₂ на направление линии центров равна x, а из разности квадратов расстояний следует 2dx = d² + R₁² − R₂². Поэтому x = (d² + R₁² − R₂²) / (2d), если d ≠ 0; выбор центра и соответствующего радиуса важен для знака.
Характер пересечения можно выяснить ещё до вычислений. Для внешнего пересечения расстояние между центрами должно быть меньше суммы радиусов, иначе сферы не дотянутся друг до друга. Для внутреннего пересечения меньшая сфера должна выступать за границу большей, поэтому d должно быть больше разности радиусов. Вместе эти условия дают |R₁ − R₂| < d < R₁ + R₂; равенство любой границе означает касание.
При строгих неравенствах сферы пересекаются по окружности, а на границе условий окружность стягивается в одну точку. При d = R₁ + R₂ это внешнее касание, при d = |R₁ − R₂| — внутреннее, если радиусы различны. Если расстояние больше суммы радиусов, сферы разделены; если оно меньше разности, меньшая сфера находится внутри большей и не касается её. Наконец, при совпадающих центрах сферы совпадают только при равных радиусах, а при разных радиусах общих точек нет.
В таблице d — расстояние между центрами, R₁ и R₂ — радиусы сфер. Сначала найдите сумму и модуль разности радиусов, затем сравните с ними d. Для случая d = 0 отдельно проверьте, равны ли радиусы: обычные условия с делением на d здесь неприменимы.
| Условие (d — расстояние между центрами, R₁ и R₂ — радиусы) | Взаимное расположение | Пересечение |
|---|---|---|
| d > R₁ + R₂ | Сферы расположены раздельно | Нет общих точек |
| d = R₁ + R₂ | Внешнее касание | Одна точка |
| |R₁ − R₂| < d < R₁ + R₂ | Сферы пересекаются | Окружность |
| d = |R₁ − R₂|, если R₁ ≠ R₂ | Внутреннее касание | Одна точка |
| 0 < d < |R₁ − R₂| | Одна сфера внутри другой без касания | Нет общих точек |
| d = 0 и R₁ = R₂ | Сферы совпадают | Вся сфера |
| d = 0 и R₁ ≠ R₂ | Сферы с общим центром и разными радиусами | Нет общих точек |
Задача 1. Радиусы двух сфер равны 3 см и 4 см, расстояние между центрами — 8 см. Определите характер их пересечения.
Ответ: сферы не пересекаются.
Задача 2. Радиусы сфер равны 5 см и 3 см, расстояние между центрами — 4 см. Определите, пересекаются ли сферы, и найдите расстояние от центра сферы радиуса 5 см до плоскости пересечения.
Ответ: сферы пересекаются по окружности; расстояние от центра сферы радиуса 5 см до её плоскости равно 4 см.
Задача 3. Радиусы двух сфер равны 13 см и 15 см, расстояние между центрами — 14 см. Найдите радиус общей окружности.
Ответ: радиус общей окружности равен 12 см.
Первая ошибка — считать, что любые сферы с разными центрами пересекаются по окружности. Её допускают, когда замечают только наличие двух центров, но не проверяют, насколько они удалены друг от друга. Сначала сравните d с суммой и модулем разности радиусов. Окружность получится лишь при строгих неравенствах |R₁ − R₂| < d < R₁ + R₂.
Вторая ошибка — принимать касание за пересечение по окружности. При равенстве d сумме радиусов или модулю их разности остаётся только одна общая точка. Сверьтесь с таблицей: границы условий соответствуют касанию, а не окружности. Строгие неравенства дают окружность.
Третья ошибка — называть общей окружностью любое пересечение сфер, в том числе при касании или совпадении. Так происходит, если не различать отдельные случаи: одна точка, окружность и целая сфера — разные множества общих точек. Перед ответом определите характер пересечения по d, R₁ и R₂. При совпадающих центрах и радиусах общая часть — вся сфера.
Четвёртая ошибка — неверно ставить знаки в формуле расстояния от центра до плоскости. Часто при вычислении забывают, что R₁ относится к выбранному центру, или меняют радиусы местами, оставляя формулу без изменений. Для центра сферы радиуса R₁ используйте x = (d² + R₁² − R₂²) / (2d). Проверьте выбор на примере: при одинаковых радиусах плоскость проходит посередине между центрами, то есть x = d / 2.
Для решения задач нужно знать определение сферы, её центра и радиуса, а также теорему Пифагора в пространстве. Идея плоскости, перпендикулярной отрезку между центрами, связана со свойствами геометрических мест точек: равные расстояния до двух точек задают плоскость. Эти знания помогают объяснить, почему общая окружность лежит в определённой плоскости, а не в произвольном сечении. Результаты применяются в задачах о сечениях шара плоскостью, взаимном расположении тел и расстояниях в пространстве.
Почему две сферы пересекаются именно по окружности?
Каждая общая точка находится на расстоянии, равном радиусу, от обоих центров. Такие точки лежат в плоскости, перпендикулярной линии центров, и одновременно принадлежат обеим сферам; в этой плоскости их множество образует окружность. Если сферы касаются, окружность вырождается в одну общую точку.
Как расположена плоскость общей окружности относительно линии центров?
Она перпендикулярна линии, проходящей через центры сфер. Все точки этой плоскости равноудалены от центров на фиксированную величину, поэтому плоскость пересечения проходит поперёк отрезка между центрами.
Как по радиусам и расстоянию между центрами понять, пересекаются ли сферы?
Обозначьте радиусы через R₁ и R₂, а расстояние между центрами — через d. При |R₁ − R₂| < d < R₁ + R₂ сферы пересекаются по окружности; равенство одной из границ означает касание. Если d больше суммы радиусов или меньше их разности, общих точек нет.
Когда две сферы имеют ровно одну общую точку?
При внешнем касании, когда d = R₁ + R₂, и при внутреннем касании, когда d = |R₁ − R₂| и радиусы различны. В обоих случаях сферы соприкасаются только в одной точке.
Как найти радиус окружности пересечения двух сфер?
Сначала найдите расстояние x от центра одной сферы до плоскости пересечения: x = (d² + R₁² − R₂²) / (2d). Затем примените теорему Пифагора: если r — радиус общей окружности, то r² + x² = R₁², значит r = √(R₁² − x²).
62. Пересечение двух сфер
