61. Касательная плоскость к шару

Определения и обозначения

Шар — геометрическое тело из всех точек пространства, удалённых от центра не более чем на радиус. Иначе говоря, в шар входят и внутренние точки, и его граница. Это определение помогает отличать объёмное тело от его поверхности.

Сфера — поверхность шара, все точки которой находятся от центра на расстоянии, равном радиусу. Если центр обозначен O, а радиус — R, то для любой точки сферы A выполняется OA = R. Сфера служит границей шара и задаёт точки, через которые можно проводить касательные плоскости.

Касательная плоскость к шару — плоскость, имеющая с шаром только одну общую точку. Она не проходит внутрь шара, поэтому не вырезает из него круг. Это понятие позволяет описать предельное положение плоскости, которая ещё соприкасается с шаром, но уже не пересекает его.

Точка касания — единственная общая точка шара и касательной плоскости. Обычно её обозначают T или A; радиус, соединяющий центр с этой точкой, перпендикулярен плоскости. По этой связи можно как проверять касание, так и строить касательную плоскость.

Как это устроено

Проведём плоскость через точку A сферы и посмотрим на кратчайшее расстояние от центра O до неё. Это расстояние измеряется по перпендикуляру и обозначим его через d, а радиус шара — через R. Если d меньше R, в плоскости есть точки, лежащие внутри шара, поэтому она пересекает его. Если d больше R, даже ближайшая к центру точка плоскости находится дальше границы шара, и общих точек нет; при d = R плоскость касается шара.

Пусть плоскость касается шара в точке A, а перпендикуляр из центра O опущен на неё в точку H. По свойству расстояния OH = d, а для касательной плоскости d = R. Поскольку OA тоже равен R, треугольник OHA имеет OA = OH. При этом OH перпендикулярен плоскости, а значит, и отрезку HA; прямоугольный треугольник с равными гипотенузой OA и катетом OH может существовать только при H = A. Поэтому радиус OA перпендикулярен касательной плоскости именно в точке касания.

Верно и обратное утверждение. Пусть плоскость проходит через точку A сферы и перпендикулярна радиусу OA; возьмём любую другую её точку X. Треугольник OAX прямоугольный при A, поэтому по теореме Пифагора OX² = OA² + AX². Так как AX > 0, получаем OX > OA = R: точка X лежит вне шара. Значит, из всей плоскости шару принадлежит только A, и плоскость является касательной.

Расстояние от центра до плоскости касания равно радиусу, потому что перпендикуляр из центра к этой плоскости заканчивается в точке касания. Отрезок от центра до неё — радиус, а его длина равна R. Если бы расстояние было меньше радиуса, в плоскость попадали бы внутренние точки шара; если бы оно было больше, плоскость оказалась бы за пределами шара. Поэтому равенство d = R — не просто удобный признак, а точное условие касания.

Чтобы определить положение произвольной плоскости, сначала находят расстояние d от центра шара до неё и сравнивают с радиусом R. При d < R перпендикуляр к плоскости короче радиуса, а значит, плоскость проходит через внутреннюю часть шара и пересекает его. При d = R получается касание в основании перпендикуляра. При d > R ближайшая точка плоскости находится за пределами шара, поэтому общих точек нет.

Положение плоскости относительно шара

В таблице R — радиус шара, а d — кратчайшее расстояние от его центра до плоскости. Сначала найдите d, затем сравните его с R: меньше, равно или больше. Если дан радиус, перпендикулярный плоскости в точке сферы, равенство d = R сразу доказывает касание.

Разбор задач

Задача 1. Признак касательной плоскости

Дан шар с центром O и точка A на его сфере. Требуется доказать, что проходящая через A плоскость, перпендикулярная OA, является касательной. Обозначим эту плоскость α, а радиус шара — R. По условию OA = R и OA перпендикулярен α.

1. Возьмём любую точку X плоскости α, отличную от A. Тогда AX лежит в α, поэтому OA перпендикулярен AX и треугольник OAX прямоугольный при A.
2. По теореме Пифагора OX² = OA² + AX². Так как AX > 0, получаем OX² > OA², а значит, OX > OA = R.
3. Следовательно, любая точка плоскости, кроме A, удалена от O больше чем на радиус и не принадлежит шару. Точка A принадлежит сфере и плоскости, поэтому это их единственная общая точка.

Ответ: α — касательная плоскость к шару в точке A. Здесь доказательство строится не только на перпендикулярности радиуса: важно показать, что все остальные точки плоскости лежат вне шара.

Задача 2. Уравнение касательной плоскости

Шар задан уравнением x² + y² + z² = 25, его центр O(0; 0; 0), радиус равен 5. Точка A(3; 4; 0) лежит на сфере, поскольку 3² + 4² = 25. Радиус OA задаёт нормаль к касательной плоскости, поэтому его координаты (3; 4; 0) будут коэффициентами при переменных в уравнении плоскости.

1. Запишем уравнение плоскости с нормалью (3; 4; 0), проходящей через A: 3(x − 3) + 4(y − 4) + 0(z − 0) = 0.
2. Раскроем скобки: 3x − 9 + 4y − 16 = 0.
3. Соберём слагаемые и получим 3x + 4y = 25. Нормаль этой плоскости параллельна OA, а точка A ей принадлежит.

Ответ: 3x + 4y = 25. Проверка подстановкой координат A даёт 9 + 16 = 25, поэтому уравнение действительно задаёт плоскость через точку касания.

Задача 3. Параметр в уравнении плоскости

Найдём значения d, при которых плоскость x + 2y + 2z = d касается шара с центром O(1; −1; 2) и радиусом 3. Перенесём всё в левую часть: x + 2y + 2z − d = 0. Расстояние от центра до этой плоскости должно равняться радиусу.

1. Для плоскости ax + by + cz + e = 0 расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до неё вычисляется по формуле |ax₀ + by₀ + cz₀ + e| / √(a² + b² + c²).
2. Подставим коэффициенты плоскости и координаты центра: d(O, α) = |1 + 2·(−1) + 2·2 − d| / √(1² + 2² + 2²) = |3 − d| / 3.
3. Приравняем расстояние радиусу: |3 − d| / 3 = 3, откуда |3 − d| = 9. Следовательно, 3 − d = 9 или 3 − d = −9.
4. Решая два уравнения, получаем d = −6 или d = 12. В обоих случаях расстояние от центра до плоскости равно 3.

Ответ: d = −6 или d = 12. Два значения возникают потому, что касательные плоскости с данной нормалью могут располагаться по разные стороны от центра шара.

Типичные ошибки

Ошибка: считать касательной любую плоскость через точку сферы. Так думают, потому что такая плоскость действительно встречает шар в этой точке, но она может наклониться внутрь тела и пересечь его по кругу. Проверьте расстояние от центра до плоскости: касание возможно только при d = R.

Ошибка: считать, что радиус перпендикулярен любой плоскости через точку сферы. Перпендикулярность ошибочно переносят с касательной плоскости на все плоскости через эту точку. Проверьте, перпендикулярен ли радиус направлению плоскости, например её двум пересекающимся прямым; одного факта, что плоскость проходит через конец радиуса, недостаточно.

Ошибка: приписывать касательной плоскости общую окружность с шаром. Окружность появляется, когда секущая плоскость проходит через внутреннюю часть шара; касательная имеет ровно одну общую точку. Для проверки найдите d: при d < R возникает сечение, а при d = R — касание.

Ошибка: находить расстояние от произвольной точки до плоскости. В условии касания сравнивают с радиусом именно расстояние от центра шара, потому что оно показывает, насколько плоскость близка к телу. Перед вычислением отметьте центр на чертеже или выпишите его координаты и подставьте именно их в формулу расстояния.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения шара, сферы и радиуса, а также понятие расстояния от точки до плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости объясняет, почему радиус к точке касания задаёт нормаль касательной. Свойства сечений помогают различать круговое сечение и единственную точку касания. В задачах на расстояния и углы этот результат связывает геометрическое рассуждение с координатными формулами; позже тот же подход применяется к касательным плоскостям других поверхностей.

Что запомнить

• Касательная плоскость имеет с шаром единственную общую точку.
• Точка этой плоскости и шара называется точкой касания.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная радиусу в точке сферы, является касательной.
• Расстояние от центра шара до касательной плоскости равно радиусу.
• Если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса, плоскость пересекает шар.
• Если расстояние от центра до плоскости больше радиуса, плоскость не имеет с шаром общих точек.