60. Симметрия шара

Определения и обозначения

Шар с центром O и радиусом R — тело, состоящее из точек пространства, удалённых от O не более чем на R. Его граница называется сферой. Это различие нужно, чтобы понимать, говорим ли мы о всём теле или только о его поверхности.

Центр симметрии шара — точка, относительно которой каждая точка шара переходит при отражении в точку того же шара. Для шара таким центром служит O. Это понятие позволяет описать соответствие между точками по разные стороны от центра.

Ось симметрии шара — прямая, вокруг которой вращение оставляет шар на месте. Осью может быть прямая, проходящая через центр. Понятие оси помогает описывать вращательную симметрию тела.

Плоскость симметрии шара — плоскость, при отражении относительно которой шар переходит сам в себя. Для шара такая плоскость проходит через центр. Это определение позволяет отличать истинную симметрию от простого пересечения шара плоскостью.

Как это устроено

Пусть A — произвольная точка шара, а A′ — её образ при отражении относительно центра O. При таком отражении точки O, A и A′ лежат на одной прямой, а O находится между A и A′. Расстояния OA и OA′ равны, поэтому OA′ не больше R, если OA не больше R. Значит, A′ тоже принадлежит шару, и центр O является центром симметрии.

Возьмём прямую l, проходящую через O, и повернём шар вокруг неё на любой угол. Вращение не сдвигает центр, а расстояние от каждой точки до O остаётся прежним. Следовательно, точки, находившиеся внутри шара или на его границе, после поворота по-прежнему удовлетворяют условию расстояния не больше R. Поэтому любая такая прямая является осью симметрии.

Рассмотрим отражение относительно плоскости, проходящей через O. При отражении точка меняет положение по отношению к плоскости, но её расстояние до O не меняется: отражение сохраняет длины. Поэтому образ каждой точки шара снова находится на расстоянии от центра не больше R. Так объясняется, почему любая плоскость через центр является плоскостью симметрии.

У шара не одна ось или плоскость симметрии, а бесконечно много. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых, и каждая прямая через O подходит; так же бесконечно много плоскостей проходит через O. Кроме них, у шара есть центр симметрии O. Все эти элементы объединяет расположение относительно центра и способность соответствующего преобразования сохранять шар.

Шар рассматривают как тело, а сферу — как его границу. Если вращение или отражение переводит шар в себя, то точки его границы также переходят в точки границы: расстояние до центра у них равно R и остаётся таким же. Поэтому симметрии шара сохраняют сферу. Обратное описание удобно тем, что симметрия поверхности показывает симметрию ограниченного ею шара.

Симметрии шара

Пользуйся таблицей так: сначала определи вид преобразования, затем проверь, проходит ли соответствующая прямая или плоскость через центр. Для центральной симметрии проверяют, что центр шара является серединой отрезка между точкой и её образом. Если условие о центре выполнено, преобразование сохраняет шар.

Разбор задач

1. Образ точки при центральной симметрии

У шара с центром O и радиусом R точка A находится на расстоянии d от O. Нужно определить, принадлежит ли шару точка, симметричная A относительно O. Чтобы ответить, достаточно найти расстояние от образа до центра и сравнить его с радиусом. Само направление на это сравнение не влияет.

1. Обозначим образ точки A через A′. По определению центральной симметрии O — середина AA′, поэтому OA′ = OA = d.
2. Точка принадлежит шару, если расстояние от неё до O не больше R. Подставляем найденное расстояние: условие принадлежности имеет вид d ≤ R.
3. Если d ≤ R, образ лежит в шаре; если d > R, он лежит вне шара. Это правило одинаково работает для внутренней точки и точки на сфере.

Ответ: точка A′ принадлежит шару тогда и только тогда, когда d ≤ R. Если исходная точка A уже принадлежит шару, то её симметричный образ также принадлежит шару.

2. Прямая через центр как ось

Через центр шара проведена прямая l. Нужно объяснить, почему вокруг неё можно вращать шар, не меняя его положения как множества точек. Удобно проверить условие, которое задаёт шар: расстояние точки до O не должно превышать R. При повороте вокруг l центр O остаётся на месте.

1. Выберем произвольную точку шара и повернём её вокруг l. Поворот сохраняет расстояния, в частности расстояние до точки O, лежащей на оси.
2. Если исходная точка находилась на расстоянии не больше R, её образ находится на таком же расстоянии. Поэтому образ снова принадлежит шару.
3. Поворот обратим: обратное вращение возвращает каждую точку. Значит, после преобразования шар не только переходит внутрь себя, но и полностью совпадает с исходным.

Ответ: l — ось симметрии шара, поскольку вращение вокруг неё сохраняет расстояния до центра и весь шар.

3. Плоскость, не проходящая через центр

Дана плоскость α, которая пересекает шар, но не проходит через его центр. Требуется решить, является ли она плоскостью симметрии, и указать подходящие плоскости. При отражении центр O должен перейти в себя, так как центр шара — единственная точка, равноудалённая от всех точек сферы. Точка остаётся на месте при отражении относительно плоскости только тогда, когда лежит в этой плоскости.

1. Отразим O относительно α. Поскольку O не лежит в α, его образ O′ отличен от O.
2. При таком отражении центр шара не остаётся на месте, значит, отражённый шар имеет другой центр и не совпадает с исходным.
3. Если плоскость проходит через O, отражение оставляет центр на месте и сохраняет расстояния до него. Следовательно, каждая такая плоскость является плоскостью симметрии.

Ответ: α не является плоскостью симметрии. Плоскостями симметрии шара служат все плоскости, проходящие через его центр.

Типичные ошибки

• Считать осью симметрии только одну выбранную прямую через центр. Так бывает, если ученик переносит на шар привычную ось конкретной фигуры. Проверь себя: возьми любую другую прямую через O — вращение вокруг неё тоже сохраняет расстояния до центра.

• Называть плоскостью симметрии любую плоскость, пересекающую шар. Сечение лишь показывает, что плоскость проходит через часть тела, но не гарантирует его совпадение с отражённым образом. Проверь, лежит ли центр шара в плоскости: если нет, симметрии не будет.

• Путать шар и сферу. Причина — в повседневной речи слово «шар» иногда используют для обозначения поверхности. В геометрии шар включает внутренние точки, а сфера является его границей; уточняй, о теле или поверхности идёт речь.

• Считать, что при симметрии относительно центра точка совпадает со своим образом. Обычно это две разные точки на одной прямой по разные стороны от O, а центр — середина отрезка между ними. Проверка: расстояния от обеих точек до центра равны, но направления противоположны.

Связь с другими темами

Для изучения симметрии шара нужно знать, что такое шар, сфера, радиус и центр, а также понимать отражение относительно точки, прямой и плоскости. Эти знания позволяют проверять, сохраняет ли преобразование расстояние до центра. Симметрия пригодится при изучении сечений шара плоскостью: расположение плоскости относительно центра влияет на полученное сечение. Те же идеи применяются к геометрическим преобразованиям и симметрии других пространственных тел.

Что запомнить

• Центр шара — его центр симметрии.
• Любая прямая через центр шара является его осью симметрии.
• Любая плоскость через центр шара является плоскостью симметрии.
• Плоскость, не проходящая через центр, не является плоскостью симметрии шара.
• Симметричные относительно центра точки находятся на одной прямой по разные стороны от центра.
• Симметрии сохраняют расстояния до центра шара.