"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Сечение шара плоскостью — круг, размер которого зависит от расстояния от плоскости до центра шара. Зная радиус шара и это расстояние, можно найти радиус сечения по теореме Пифагора. Плоскость через центр даёт наибольшее сечение — большой круг; чем дальше плоскость от центра, тем меньше круг. Если расстояние до плоскости равно радиусу шара, она касается шара в одной точке, а при большем расстоянии пересечения нет.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, расстояние от которых до центра не больше радиуса. Сферой называют только границу шара, а шар включает ещё и внутренние точки. Это различие помогает понять, почему сечением шара будет заполненная фигура, а сечением сферы — её граница.
Сечение шара плоскостью — фигура, полученная при пересечении шара с плоскостью; это круг, границей которого служит окружность. Иными словами, в сечение входят не только точки на линии пересечения, но и точки внутри неё. Это определение нужно, чтобы не путать круг с окружностью.
Большой круг — сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус такого круга равен радиусу шара, потому что все его точки лежат в плоскости, проходящей через центр. Понятие большого круга позволяет сразу находить размер центрального сечения.
Касательная плоскость к шару — плоскость, имеющая с шаром ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Такое определение помогает отличить касание от пересечения по кругу и от положения плоскости вне шара.
Чтобы найти центр сечения, из центра шара опускают перпендикуляр на секущую плоскость. Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до плоскости, поэтому его основание однозначно задаёт ближайшую к центру точку плоскости. Все точки круга сечения расположены вокруг этого основания на одинаковом расстоянии, значит, оно и является центром круга.
Возьмём любую точку на окружности сечения и соединим её с центром шара и центром круга. Отрезок от центра шара до точки окружности — радиус шара, а от центра круга до этой точки — радиус сечения. Отрезок между центрами перпендикулярен плоскости сечения, тогда как радиус круга лежит в этой плоскости. Поэтому угол между ними прямой, и три отрезка образуют прямоугольный треугольник.
В этом треугольнике радиус шара R — гипотенуза, а радиус сечения r и расстояние от центра до плоскости d — катеты. По теореме Пифагора R² = r² + d², откуда r² = R² − d² и r = √(R² − d²). Эта формула работает, когда плоскость пересекает шар, то есть при d < R. Она также показывает, что радиус сечения не может быть больше радиуса шара.
Если плоскость проходит через центр шара, расстояние d равно нулю. Тогда r = √(R²) = R, поэтому сечение является большим кругом. Когда плоскость удаляется от центра, d увеличивается, а разность R² − d² уменьшается. Следовательно, уменьшается и радиус круга сечения.
Положение плоскости определяется сравнением расстояния d с радиусом шара R. При d < R радиус сечения можно вычислить по формуле, и плоскость пересекает шар по кругу. При d = R получается r = 0: круг стягивается в одну точку, поэтому плоскость касается шара. Если d > R, расстояния от центра до плоскости больше радиуса, и общих точек у плоскости с шаром нет.
| Расстояние d от центра шара до плоскости | Пересечение с шаром | Радиус сечения |
|---|---|---|
| d = 0 — плоскость проходит через центр | Большой круг | r = R |
| 0 < d < R — плоскость пересекает шар | Круг | r = √(R² − d²) |
| d = R — плоскость касается шара | Одна точка | Сечения-круга нет; радиус вырождается в 0 |
| d > R — плоскость не имеет общих точек с шаром | Пересечения нет | Сечения-круга нет |
Сначала сравни расстояние d с радиусом R, чтобы определить, пересекает ли плоскость шар. Если d меньше R, подставь значения в формулу радиуса сечения. При касании или отсутствии пересечения радиус круга находить не нужно: круга в этих случаях нет.
Задача 1. Радиус шара равен 5 см, а секущая плоскость проходит через его центр. Найдём радиус сечения. Поскольку плоскость проходит через центр, расстояние d равно нулю, а сечение является большим кругом. Значит, его радиус совпадает с радиусом шара.
Ответ: 5 см. Здесь не требуется применять теорему Пифагора: условие сразу указывает, что сечение центральное. Этот вывод верен только для плоскости, проходящей через центр шара.
Задача 2. Радиус шара равен 13 см, расстояние от его центра до секущей плоскости — 5 см. Найдём радиус сечения. Так как 5 < 13, плоскость пересекает шар по кругу. В прямоугольном треугольнике радиус шара — гипотенуза, а искомый радиус сечения и расстояние до плоскости — катеты.
Ответ: 12 см. Проверка по теореме Пифагора даёт 12² + 5² = 13². Результат согласуется с чертежом: радиус сечения меньше радиуса шара.
Задача 3. Радиус шара равен 10 см, радиус высекаемого круга — 8 см. Найдём расстояние от центра шара до плоскости и выясним, может ли эта плоскость быть касательной. Сначала выразим расстояние из соотношения для прямоугольного треугольника. Затем сравним его с радиусом шара: касание возможно при d = R.
Ответ: 6 см; такая секущая плоскость касательной быть не может. Радиус заданного круга положителен, поэтому плоскость пересекает шар по кругу, а не касается его в одной точке. Касание при данном радиусе шара потребовало бы расстояния 10 см до плоскости.
Называть сечением шара окружность — значит забывать, что шар содержит внутренние точки. Путают фигуры, потому что на чертеже обычно видна только линия границы. Проверка простая: пересечение тела с плоскостью заполняет область внутри контура, поэтому для шара ответ — круг.
Считать радиус сечения равным радиусу шара при любой плоскости нельзя: это равенство верно лишь для большого круга. Ошибка возникает, когда условие о прохождении плоскости через центр переносят на все сечения. Проверь, чему равно d: только при d = 0 формула даёт r = R.
Не подменяй в формуле расстояние до плоскости радиусом сечения и наоборот. Эти величины — разные катеты прямоугольного треугольника, поэтому перед подстановкой подпиши данные: d — расстояние, r — радиус круга. Самопроверка: результат для r должен быть не больше R, а для d — неотрицательным.
Формула r = √(R² + d²) неверна, потому что в прямоугольном треугольнике радиус шара R является гипотенузой. По теореме Пифагора гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов, значит, r² = R² − d². Проверить выбор знака можно подстановкой d = 0: радиус центрального сечения должен получиться равным R.
Для работы с сечением нужно знать, что такое шар и сфера, уметь проводить перпендикуляр от точки к плоскости и понимать расстояние от точки до плоскости. Теорема Пифагора связывает радиус шара с радиусом сечения и расстоянием до плоскости. Эти знания применяются в стереометрии при решении задач о шарах, цилиндрах, а также о вписанных и описанных телах. Поэтому полезно сначала установить геометрическую схему, а затем выбирать формулу.
Чем сечение шара отличается от сечения сферы?
Шар включает все внутренние точки и границу, поэтому его пересечение с плоскостью — заполненный круг. Сфера состоит только из точек на поверхности, и её пересечение с плоскостью при пересечении — окружность, то есть граница этого круга.
Как найти центр круга сечения?
Из центра шара опусти перпендикуляр на секущую плоскость. Основание этого перпендикуляра и будет центром круга сечения.
Почему радиус сечения вычисляют по теореме Пифагора?
Радиус шара, расстояние от его центра до плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник. Радиус шара — гипотенуза, поэтому r² + d² = R² и r = √(R² − d²).
Как определить, пересекает ли плоскость шар?
Сравни расстояние d от центра шара до плоскости с радиусом шара R. При d < R есть пересечение по кругу, при d = R плоскость касается шара, а при d > R общих точек нет.
Когда сечение шара является большим кругом?
Большой круг получается, когда секущая плоскость проходит через центр шара. Тогда расстояние от центра до плоскости равно нулю, а радиус сечения совпадает с радиусом шара.
59. Сечение шара плоскостью
