74. Понятие объема

Определения и обозначения

Объём тела — величина, которая характеризует, сколько места тело занимает в пространстве. Его выражают положительным числом и обязательно указывают выбранную единицу измерения. Это позволяет сравнивать разные тела и описывать их размеры числом, а не только словами «больше» или «меньше».

Равные тела — тела, которые можно совместить наложением. При совмещении они занимают одно и то же пространство, поэтому для измерения каждого требуется одинаковое количество единичных кубов. Значит, равные тела имеют одинаковые объёмы.

Единица объёма — объём, принятый за единицу измерения. Удобно выбрать куб с ребром, равным единице длины: такой куб можно использовать как меру для сравнения с другими телами. Число, показывающее, сколько таких единиц содержится в объёме тела, и будет его измеренным объёмом.

Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см; его обозначают см³. Индекс 3 показывает, что единица связана с тремя измерениями куба — длиной, шириной и высотой. Поэтому объём нельзя записывать в сантиметрах без степени: сантиметр — единица длины, а см³ — единица объёма.

Как это устроено

Измерение объёма сводится к сравнению тела с выбранной единицей: нужно определить, сколько единичных кубов составляет его объём. Если тело можно заполнить такими кубами без промежутков и наложений, их количество даёт результат измерения. Для тел сложной формы сравнение с кубами может быть мысленным, но принцип остаётся тем же. Без заранее выбранной единицы числовое значение объёма определить нельзя.

Объёмы равных тел одинаковы, поскольку их можно совместить и тогда они занимают одно и то же пространство. Представим, что одно из тел мысленно перенесли на место другого: границы совпали, а значит, любой способ измерения даст одинаковое количество единиц. Это свойство не зависит от формы тела: достаточно, чтобы тела были равны и измерялись одной единицей. Поэтому при известном объёме одного из двух равных тел второй объём уже известен.

Если тело разделено на несколько частей, не имеющих общих внутренних точек, объём целого равен сумме объёмов частей. Причина в том, что каждая часть занимает свою область пространства, а области не накладываются друг на друга. Вместе они покрывают всё тело, поэтому измеренные объёмы можно сложить и получить объём целого. Перед сложением нужно проверить, что ни одна часть не потеряна и что части не перекрываются.

Единицу объёма задают через единицу длины: куб с ребром 1 дм имеет объём 1 дм³. Поскольку 1 дм = 10 см, каждое ребро такого куба содержит 10 отрезков длиной 1 см. В кубе помещается 10 · 10 · 10 = 1000 кубиков с ребром 1 см, поэтому 1 дм³ = 1000 см³. Именно три измерения дают кубический коэффициент перевода, а не обычный коэффициент для единиц длины.

Объём зависит от выбранной единицы измерения только численно: одно и то же тело имеет разные значения в см³, дм³ и м³. Если взять мелкую единицу, в теле поместится больше единичных кубов; при крупной единице их количество будет меньше. Само занимаемое телом пространство при этом не меняется. Поэтому в ответе всегда записывают и число, и единицу, а при сравнении или сложении сначала приводят значения к одинаковым единицам.

Основные свойства измерения объёма

Таблица помогает выбрать нужное свойство перед вычислением: сравните условие задачи с основаниями измерения. Для сложения частей сначала проверьте, что они образуют всё тело без перекрытий. Если в записи встречаются разные кубические единицы, переведите их к одной и только потом складывайте.

Разбор задач

Задача 1. Два тела равны. Объём первого равен 18 см³. Найдите объём второго. Нужно понять, что в условии сообщается не только о сходстве форм: тела можно совместить наложением. Следовательно, для них выполняется свойство равных объёмов.

1. Записываем известный объём первого тела: 18 см³.
2. Так как тела равны, объём второго тела совпадает с объёмом первого.
3. Переносим числовое значение вместе с единицей измерения: V₂ = 18 см³.

Ответ: 18 см³. Единицу сохраняем, потому что объём должен быть выражен в кубических единицах.

Задача 2. Тело составлено из двух частей объёмами 12 см³ и 7 см³. Найдите объём тела. Для применения сложения нужно считать, что обе части составляют всё тело и не перекрываются. В условии дано, что тело именно составлено из этих частей, поэтому складываем их объёмы.

1. Проверяем единицы: оба значения выражены в см³, перевод не нужен.
2. Складываем объёмы частей: 12 + 7 = 19.
3. Записываем результат в той же единице: V = 19 см³.

Ответ: 19 см³. Сложение допустимо, потому что части вместе образуют тело и не занимают одну и ту же область пространства.

Задача 3. Тело составлено из частей объёмами 8 см³, 1 дм³ и 500 см³. Выразите общий объём в кубических сантиметрах. Здесь нельзя сразу складывать числа 8, 1 и 500: они относятся к разным единицам. Сначала переводим средний объём, используя равенство 1 дм³ = 1000 см³.

1. Переводим 1 дм³ в см³: 1 дм³ = 1000 см³.
2. Теперь записываем все слагаемые в одинаковых единицах: 8 см³, 1000 см³ и 500 см³.
3. Складываем: 8 + 1000 + 500 = 1508.
4. Указываем требуемую единицу измерения: V = 1508 см³.

Ответ: 1508 см³. Проверка единиц перед сложением помогла не перепутать числовые значения.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при смене единицы измерения числовое значение объёма не меняется. Её допускают, забывая, что более мелкие единичные кубы помещаются в том же теле в большем количестве. Проверьте себя на простом переводе: 1 дм³ равен 1000 см³, а не 1 см³. Само тело сохраняет объём, но число зависит от того, чем его измеряют.

Ошибка — записывать кубическую единицу как см вместо см³. Так происходит, когда объём путают с длиной или забывают указать три измерения. Сверьте вид величины: сантиметр измеряет отрезок, а кубический сантиметр — пространство, занимаемое кубом с ребром 1 см. В ответе после числа должна стоять единица с показателем степени 3.

Ошибка — складывать числа, записанные в разных единицах, например сантиметры и дециметры кубические. Причина в том, что единицы иногда воспринимают как необязательную подпись к числу, хотя они задают масштаб измерения. Перед вычислением подпишите рядом с каждым слагаемым единицу и переведите значения к общей. Проверка проста: все слагаемые в сумме должны иметь одинаковую единицу объёма.

Ошибка — складывать объёмы частей, не проверив, что они составляют всё тело и не перекрываются. Её допускают, принимая любое описание частей за достаточное основание для сложения. Убедитесь, что нет пропущенных частей и внутреннего наложения: иначе сумма либо не учтёт всё тело, либо посчитает некоторую область дважды. Только после этой проверки применяйте свойство сложения объёмов.

Связь с другими темами

Для работы с объёмом нужно знать единицы длины и уметь переводить их друг в друга: именно из них строятся кубические единицы. Например, соотношение 1 дм = 10 см позволяет получить 1 дм³ = 1000 см³. Понятие объёма и его свойства понадобятся при изучении формул объёмов многогранников и тел вращения. Связь линейных и кубических единиц помогает переводить результаты в удобную для задачи меру.

Что запомнить

• Объём характеризует, сколько места занимает тело.
• Объём выражают положительным числом в выбранной единице.
• Единица объёма — объём единичного куба.
• У равных тел равные объёмы.
• Объём тела равен сумме объёмов его непересекающихся частей.
• При сложении объёмов их сначала выражают в одинаковых единицах.
• Кубические единицы связаны с соответствующими единицами длины.