"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Объём прямоугольного параллелепипеда показывает, сколько пространства занимает коробка, помещение или другой предмет такой формы. Его находят, перемножая длину, ширину и высоту: V = abc. Чтобы понять эту формулу, удобно представить тело, заполненное одинаковыми кубиками: сначала считают кубики в одном слое, затем — число слоёв. Результат записывают в кубических единицах, а перед вычислением измерения приводят к одной единице длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, показывающая, сколько единичных кубов помещается внутри тела. Единичный куб здесь служит мерой пространства, а не частью поверхности. Поэтому объём помогает сравнить вместимость предметов и количество места, которое они занимают.
Единица объёма — объём куба с ребром, равным единице длины. Например, куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³, а куб с ребром 1 дм — 1 дм³. Поскольку в одном кубическом дециметре помещается 1000 кубиков объёмом 1 см³, 1 дм³ = 1000 см³.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин трёх его измерений: длины, ширины и высоты. Если обозначить их буквами a, b и c, то формула имеет вид V = abc. Она нужна, чтобы находить объём без подсчёта каждого кубика по отдельности.
Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда: все три его измерения равны. Если ребро куба равно a, то V = a · a · a = a³. Эта запись упрощает вычисление объёма куба и подчёркивает, что длина умножается сама на себя трижды.
Смысл измерения объёма можно представить на примере коробки, которую заполняют одинаковыми маленькими кубами. Если кубики уложены плотно, без промежутков и наложений, их количество показывает, сколько единиц объёма содержится в коробке. Именно поэтому измерение объёма связано с заполнением внутреннего пространства, а не с подсчётом внешних граней.
Для прямоугольного параллелепипеда с целыми измерениями удобно считать кубики слоями. Сначала рассматривают один слой у основания: число кубиков в нём равно произведению их количества вдоль длины и ширины. Затем определяют, сколько одинаковых слоёв помещается по высоте, и умножают число кубиков в слое на это количество.
Пусть измерения равны a, b и c единицам, причём все они целые. Тогда в одном слое помещается ab единичных кубов, а число слоёв равно c. Общее количество кубов составляет ab · c, откуда получается формула V = abc. Например, если вдоль основания укладываются 3 кубика в одну сторону и 4 в другую, слой содержит 12 кубиков.
Формула остаётся верной и при дробных измерениях. Если длина ребра единичного куба выбрана за единицу, в параллелепипеде с дробными размерами может не поместиться целое число таких кубов, но количество единиц объёма всё равно определяется произведением трёх длин. Можно также уменьшить единицу длины: при переходе к более мелкой единице числовые значения измерений меняются согласованно, и формула даёт тот же объём, выраженный в новых единицах.
Из формулы видно, как размеры влияют на объём. Если изменить только одно измерение в k раз, произведение abc тоже изменится в k раз. Если все три измерения увеличить в k раз, новый объём станет (ka)(kb)(kc) = k³abc, то есть возрастёт в k³ раз; например, удвоение каждого ребра увеличивает объём в восемь раз.
| Что рассматриваем | Обозначение | Как найти или выразить | Единицы |
|---|---|---|---|
| Длина | a | Измеряют одно из рёбер | мм, см, дм, м |
| Ширина | b | Измеряют другое ребро основания | мм, см, дм, м |
| Высота | c | Измеряют расстояние между основаниями | мм, см, дм, м |
| Объём прямоугольного параллелепипеда | V | V = abc | мм³, см³, дм³, м³ |
| Объём куба | V | V = a³ | мм³, см³, дм³, м³ |
Сначала выберите обозначения и убедитесь, что длина, ширина и высота выражены в одинаковых единицах. Затем перемножьте три измерения и запишите ответ в соответствующих кубических единицах. Если тело — куб, достаточно измерить одно ребро и возвести его длину в третью степень.
Все измерения даны в сантиметрах, поэтому переводить их не требуется. Обозначим длину, ширину и высоту буквами a, b и c и применим формулу V = abc. Перемножим значения и укажем единицу объёма.
Ответ: 60 см³.
Здесь числа относятся к разным единицам длины, поэтому нельзя сразу перемножать 0,4, 30 и 2. Выберем, например, дециметры: 0,4 м = 4 дм, а 30 см = 3 дм. Теперь все три измерения можно подставить в одну формулу, а результат записать в кубических дециметрах.
Ответ: 24 дм³. Проверка единиц подтверждает результат: произведены три длины, каждая в дециметрах, значит получились кубические дециметры.
Неизвестна одна из трёх величин в произведении V = abc. Чтобы найти высоту, разделим обе части равенства на произведение длины и ширины: c = V ÷ (a · b). Так мы отделяем неизвестную величину и подставляем в неё известные значения.
Ответ: высота равна 4 см. Проверка подстановкой даёт 6 · 5 · 4 = 120 см³, то есть исходный объём.
Ошибка — сложить три измерения вместо того, чтобы перемножить их. Так иногда поступают, потому что длина, ширина и высота выглядят как три числа, которые нужно объединить. Но объём получается из подсчёта кубиков в слоях, а число кубиков в слоях находят умножением; проверка — сравнить размерность ответа с единицами объёма.
Ответ в квадратных единицах — например, см² — указывает на смешение площади и объёма. Квадратные единицы появляются при умножении двух длин, а в формуле объёма перемножаются три длины. Перед записью ответа проверьте, что единицы возведены в третью степень: см · см · см = см³.
Нельзя подставлять в формулу длину в метрах, ширину в сантиметрах, а высоту в дециметрах без перевода. Такая ошибка возникает, когда единицы записаны рядом с числами, но их соотношение не учитывают в вычислении. Чтобы проверить себя, приведите все измерения к одной единице и только затем перемножайте.
Не следует путать объём и площадь поверхности. Площадь поверхности описывает внешние грани тела, а объём — его внутреннее пространство; это разные величины с разными единицами. Если задача спрашивает, сколько жидкости войдёт в резервуар, ищут объём, а не площадь стенок.
Для работы с формулой полезно знать, что такое прямоугольный параллелепипед, как называются его измерения и как находят площадь прямоугольника. Подсчёт кубиков в одном слое использует умножение, знакомое по вычислению площади основания; добавление числа слоёв приводит к объёму. Полученная формула применяется в задачах о вместимости коробок, помещений и резервуаров, а также служит опорой при изучении объёмов других тел.
Почему объём прямоугольного параллелепипеда находят умножением трёх измерений?
В одном слое помещается число кубиков, равное произведению длины на ширину. Число таких слоёв задаёт высота, поэтому общее количество кубиков равно произведению всех трёх измерений.
В каких единицах записывают объём?
Объём выражают в кубических единицах: например, см³, дм³ или м³. Такая единица соответствует объёму куба, ребро которого равно одной единице длины.
Можно ли перемножать длину в сантиметрах и ширину в метрах?
Перед вычислением все измерения нужно выразить в одной единице длины. Иначе числа относятся к разным масштабам, и полученный результат будет неверным.
Чем объём отличается от площади поверхности?
Объём характеризует пространство внутри тела, а площадь поверхности — сумму площадей его внешних граней. Объём измеряется в кубических, а площадь — в квадратных единицах.
Как найти неизвестное измерение, если объём и два других измерения известны?
Нужно разделить объём на произведение двух известных измерений. Например, высота равна h = V ÷ (a · b); результат должен быть выражен в единицах длины.
75. Объем прямоугольного параллелепипеда
