"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Объём показывает, сколько места занимает тело, и измеряется в кубических единицах. Для прямой призмы и цилиндра действует общий принцип: объём равен площади основания, умноженной на высоту. У призмы основание — многоугольник, у цилиндра — круг, поэтому его формула содержит πr². Зная эти правила, можно находить объёмы тел и решать обратные задачи, например вычислять радиус цилиндра по его объёму и высоте.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём тела — величина, характеризующая, сколько места занимает тело; его измеряют в кубических единицах, например в см³ или м³. Чтобы найти объём, тело мысленно сравнивают с единичным кубом или используют формулы для знакомых фигур. Объём обозначают буквой V, а единицы выбирают с учётом размеров тела.
Объём прямой призмы — объём призмы, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Такие рёбра задают расстояние между основаниями, то есть высоту призмы. Это определение помогает отличить прямую призму от наклонной и правильно выбрать величину для формулы объёма.
Объём цилиндра — объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и двумя круглыми основаниями. В задачах цилиндр описывают радиусом основания r и высотой h — расстоянием между плоскостями кругов. Эти величины позволяют вычислить, сколько пространства занимает цилиндр.
Объёмы тел можно сравнивать по их сечениям — плоским фигурам, полученным при пересечении тела плоскостью. Принцип Кавальери утверждает: если высоты тел равны и площади их сечений плоскостями, параллельными основаниям, на каждой высоте одинаковы, то равны и объёмы. Это работает потому, что тела можно представить как слои: на любой высоте слои имеют одинаковую площадь, а общая высота у них одна и та же.
У прямой призмы любое сечение плоскостью, параллельной основанию, равняется этому основанию. Значит, на каждой высоте призма имеет одинаковый слой площадью Sосн. Если складывать такие слои по всей высоте h, получится объём V = Sоснh. Формула подходит для прямой призмы с основанием любой формы, если известна площадь этого основания.
В формуле прямой призмы высота — не просто боковое ребро по определению, а расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны этим плоскостям, поэтому длина каждого бокового ребра совпадает с высотой. Это упрощает вычисление: если в условии дана длина бокового ребра прямой призмы, её можно подставить вместо h.
У цилиндра плоскости, параллельные основаниям, вырезают круги, равные основаниям. Поэтому на каждой высоте площадь сечения одна и та же — такая же, как у основания. По принципу Кавальери объём цилиндра равен объёму тела с такими же круглыми слоями, а значит, равен площади основания, умноженной на высоту.
Площадь круглого основания с радиусом r выражается формулой S = πr². Подставляя её в правило V = Sоснh, получаем формулу цилиндра V = πr²h. Квадрат радиуса показывает, что при неизменной высоте увеличение радиуса в несколько раз увеличивает объём в квадрат этого числа, а увеличение высоты в несколько раз увеличивает объём во столько же раз.
| Тело | Площадь основания | Высота | Формула объёма |
|---|---|---|---|
| Прямая призма | Площадь многоугольника-основания | Расстояние между основаниями | V = Sоснh |
| Цилиндр | πr² | Расстояние между круглыми основаниями | V = πr²h |
Сначала определите вид тела и найдите площадь одного основания, затем подставьте её и высоту в формулу. Для цилиндра используйте радиус круга, а для призмы — площадь многоугольника-основания. Перед вычислением убедитесь, что все длины выражены в одинаковых единицах.
Основание прямой треугольной призмы — треугольник площадью 12 см², высота призмы равна 5 см. Требуется найти объём. Площадь основания уже дана, поэтому вычислять стороны треугольника не нужно; остаётся применить формулу прямой призмы.
Ответ: 60 см³.
Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота — 8 см. Нужно найти объём. Поскольку основание цилиндра является кругом, сначала используем площадь круга, а затем умножаем её на высоту цилиндра.
Ответ: 72π см³.
Объём цилиндра равен 200π см³, высота — 8 см. Требуется найти радиус основания. Неизвестен r, поэтому сначала выразим из формулы квадрат радиуса, а после подстановки найдём положительный корень: радиус не может быть отрицательным.
Ответ: 5 см.
Вместо площади одного основания иногда подставляют площадь боковой поверхности или складывают площади основания и боковой поверхности. Такая ошибка возникает, когда путают объём и площадь поверхности: боковые грани не задают площадь поперечного слоя. Проверьте, что в V = Sоснh подставлена площадь только одного основания.
Для цилиндра ошибочно используют πrh или πr² без множителя h. В первом случае неверно найдена площадь основания, а во втором учтено основание, но не высота тела. Сверьтесь с двумя шагами: площадь круга равна πr², затем её нужно умножить на h.
Если дан диаметр цилиндра, его могут подставить в формулу вместо радиуса. Поскольку диаметр вдвое больше радиуса, при возведении в квадрат такая подмена существенно меняет результат. Перед вычислением найдите r = d / 2 и проверьте, что в записи формулы стоит именно радиус.
Ещё одна ошибка — записать ответ в квадратных единицах или смешать сантиметры и метры в вычислении. Объём получается при умножении площади на длину, поэтому единицы должны стать кубическими. Приведите все длины к одной системе и проверьте, например, что см² · см = см³.
Для вычисления объёма прямой призмы нужно уметь находить площади многоугольников, а для цилиндра — площадь круга. Также важно различать высоту призмы и её боковое ребро: они совпадают только у прямой призмы. Высота цилиндра, как и высота призмы, измеряется как расстояние между плоскостями оснований.
Формулы этих тел опираются на общий приём: площадь сечения умножается на высоту, если сечения одинаковы. Этот подход помогает переходить к задачам на комбинированные тела, объём которых находят по частям. Принцип Кавальери также пригодится при изучении объёмов пирамиды, конуса и шара.
Почему объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту?
Сечения призмы плоскостями, параллельными основаниям, равны основанию на любой высоте. Поэтому призма занимает столько же места, сколько тело с теми же сечениями, составленное из одинаковых слоёв толщиной в единицу длины. Отсюда объём равен площади основания, умноженной на высоту.
Как определить высоту призмы или цилиндра?
Высота — это расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы она равна длине бокового ребра, поскольку ребро перпендикулярно основаниям. У цилиндра высота измеряется перпендикулярно его круглым основаниям.
Чем в формуле объёма цилиндра радиус отличается от диаметра?
Радиус — расстояние от центра основания до его края, а диаметр проходит через центр и равен двум радиусам. В формулу V = πr²h подставляют именно радиус. Если дан диаметр d, сначала найдите r = d / 2.
Как найти радиус цилиндра, если известны его объём и высота?
Из формулы V = πr²h выразите квадрат радиуса: r² = V / (πh). Затем извлеките положительный квадратный корень: r = √(V / (πh)). Перед вычислением проверьте, что объём и высота записаны в согласованных единицах.
В каких единицах нужно записывать объём?
Объём записывают в кубических единицах: например, см³, м³ или дм³. Если длины заданы в разных единицах, сначала приведите их к одной системе. В результате формулы площадь основания умножается на длину, поэтому единица измерения тоже становится кубической.
§ 2. Объемы прямой призмы и цилиндра
