2.1. Объем прямой призмы

Определения и обозначения

Прямая призма — многогранник, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях, называют основаниями, а соединяющие их грани — боковыми. Такое устройство позволяет отличить прямую призму от наклонной и определить её высоту по боковому ребру.

Основание прямой призмы — многоугольник, который задаёт форму призмы и повторяется на другом её конце. Площадь основания обычно обозначают буквой S. Она нужна для расчёта объёма: форма основания влияет на вычисление S, но сама формула объёма от этой формы не зависит.

Высота прямой призмы — расстояние между плоскостями её оснований, обычно обозначаемое h. Расстояние измеряется по перпендикуляру к этим плоскостям. Поскольку боковое ребро прямой призмы перпендикулярно основаниям, его длина равна h.

Объём прямой призмы — величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом; его обозначают V. Объём показывает, сколько единичных кубов можно уложить внутри призмы. Это обозначение связывает площадь основания и высоту общей формулой.

Как это устроено

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. Такая плоскость пересекает боковые рёбра на одинаковом расстоянии от нижнего основания, а получившийся многоугольник равен основанию. Действительно, при переходе вдоль призмы её поперечная форма не сужается и не расширяется: боковые грани соединяют равные основания. Поэтому площадь любого такого сечения остаётся равной S.

Представим тело как множество тонких слоёв, параллельных основаниям. Каждый слой имеет одну и ту же площадь S, а если его толщина равна Δh, его объём приблизительно равен S · Δh. Складывая объёмы слоёв от одного основания до другого, получаем площадь основания, умноженную на общую толщину всей призмы. Так возникает формула V = Sh; это не отдельное правило для прямоугольной призмы, а следствие постоянства сечений.

В формуле S — именно площадь многоугольника-основания, а не площадь боковой поверхности или одной боковой грани. Величина h — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований, а не произвольный отрезок внутри призмы. У прямой призмы длина бокового ребра подходит для подстановки, потому что это ребро перпендикулярно обоим основаниям.

Если основание имеет сложную форму, формула объёма не меняется. Сначала разделите многоугольник на фигуры с известными формулами площади, например прямоугольники и треугольники, затем сложите их площади или вычтите площадь вырезанной части. Полученное значение принимают за S и умножают на высоту призмы. Например, для основания в виде прямоугольника с треугольным выступом площадь будет суммой площадей прямоугольника и выступа.

Из равенства V = Sh можно выразить любую из трёх величин, если две другие известны: S = V/h и h = V/S. Делить можно на ненулевую величину, а у настоящей призмы и площадь основания, и высота положительны. Размерности помогают проверить ответ: площадь в см², умноженная на высоту в см, даёт см³; при делении объёма в см³ на площадь в см² получается высота в см.

Величины и формулы для объёма прямой призмы

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите подходящую запись формулы. Проверьте, что единицы S и h согласованы, а единицы результата соответствуют искомой величине. Например, из см² и см получается объём в см³.

Разбор задач

Прямоугольное основание

Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см, высота призмы равна 9 см. Найдите объём. Поскольку основание прямоугольное, его площадь равна произведению длин двух сторон. Затем используем формулу V = Sh.

1. Находим площадь основания: S = 4 · 7 = 28 см².
2. Умножаем площадь на высоту призмы: V = 28 · 9 = 252 см³.
3. Проверяем единицы: см² · см = см³, значит, размерность объёма указана верно.

Ответ: 252 см³.

Треугольное основание

Основание призмы — треугольник со стороной 10 см и проведённой к ней высотой 6 см; высота призмы равна 8 см. Сначала нужно найти площадь треугольника, потому что размеры его стороны и высоты относятся к основанию, а не к боковой поверхности призмы. После этого вычислим объём по общей формуле.

1. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней: S = ½ · 10 · 6 = 30 см².
2. Применяем формулу объёма: V = Sh = 30 · 8 = 240 см³.
3. Убеждаемся, что площадь измерена в см², высота — в см, а результат — в см³.

Ответ: 240 см³.

Неизвестная высота и изменение объёма

Объём прямой призмы равен 360 см³, площадь основания — 45 см². Найдите высоту, а затем определите изменение объёма, если высоту увеличить в 1,5 раза, а площадь основания уменьшить в 2 раза. Сначала используем формулу, выраженную относительно h. Для новой призмы сравним множители изменения площади и высоты с исходными значениями.

1. Выражаем высоту: h = V/S = 360/45 = 8 см.
2. При изменении площадь станет S/2, а высота — 1,5h. Поэтому новый объём V₁ = (S/2) · (1,5h) = 0,75Sh.
3. Так как Sh = V, новый объём составляет 0,75 · 360 = 270 см³. Он равен ¾ исходного, то есть уменьшился на 90 см³, или на 25%.

Ответ: высота равна 8 см; новый объём — 270 см³, он уменьшится на 25%.

Типичные ошибки

Подставлять вместо высоты длину наклонного отрезка нельзя: такая длина не равна расстоянию между плоскостями оснований. Ошибку допускают, когда считают высотой любой отрезок, соединяющий основания. Проверьте, перпендикулярен ли отрезок плоскостям оснований; для прямой призмы можно взять длину бокового ребра.

Площадь боковой поверхности не подходит для формулы V = Sh, потому что S обозначает площадь основания. Путаница возникает из-за того, что у призмы несколько граней, площади которых тоже вычисляют. Перед подстановкой назовите про себя фигуру, площадь которой найдена: это должен быть один из двух многоугольников-оснований.

Если сразу умножить высоту призмы на сторону или на периметр основания, объём обычно получится неверным. Причина — пропущен шаг нахождения площади многоугольника, особенно для треугольника или составного основания. Сначала запишите формулу площади основания, вычислите S и только затем применяйте V = Sh.

Запись объёма в квадратных единицах или смешение сантиметров с метрами приводит к неверному результату. Это случается, если проверять только числа, не учитывая размерности. До вычислений приведите длины к одним единицам, а после проверьте цепочку: квадратные единицы площади, линейные единицы высоты, кубические единицы объёма.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма нужны формулы площадей многоугольников и умение находить площадь составной фигуры. Понятия перпендикулярности прямой и плоскости и расстояния между параллельными плоскостями помогают верно определить высоту призмы. Значит, объёмная задача опирается одновременно на планиметрию и пространственную геометрию.

Формула V = Sh станет основой для изучения объёмов других многогранников. При разбиении сложного тела на части или рассмотрении комбинации тел полезно уметь находить объём каждой призмы отдельно. Затем объёмы частей складывают или, если есть вырез, вычитают.

Что запомнить

• Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
• Площадь основания измеряется в квадратных единицах, высота — в линейных, объём — в кубических.
• Высота прямой призмы равна длине её бокового ребра.
• Сечения призмы плоскостями, параллельными основаниям, равны основаниям.
• При фиксированной площади основания объём прямо пропорционален высоте.
• При фиксированной высоте объём прямо пропорционален площади основания.