66. Взаимное расположение сферы и плоскости

Определения и обозначения

Сечение сферы плоскостью — окружность, по которой плоскость пересекает сферу, если расстояние от её центра до плоскости меньше радиуса. Эта окружность состоит из точек сферы, принадлежащих плоскости. Такое понятие помогает описывать форму пересечения и находить размеры получившейся фигуры.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Она не проходит внутрь сферы: если бы расстояние от центра до неё было меньше радиуса, общих точек стало бы больше. Определение позволяет отличить касание от обычного пересечения.

Точка касания — единственная общая точка сферы и касательной плоскости; она лежит на перпендикуляре, проведённом из центра сферы к плоскости. В этой точке радиус сферы перпендикулярен плоскости. Это свойство используют в задачах, где нужно определить направление радиуса или проверить касание.

Расстояние от центра сферы до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость. Его обозначают d, а радиус сферы — R. Сравнение d и R показывает, пересекаются ли сфера и плоскость, поэтому именно эти величины нужны в первую очередь.

Как это устроено

Пусть из центра сферы O опущен перпендикуляр на плоскость, а его основание — точка H. Если плоскость пересекает сферу, то для любой точки окружности сечения расстояние до O равно радиусу сферы R. Точки пересечения лежат на одинаковом расстоянии от H в плоскости, поэтому образуют окружность с центром H. Значит, основание перпендикуляра является центром сечения.

Возьмём точку A на окружности сечения. Треугольник OHA прямоугольный при H, потому что OH перпендикулярен всей плоскости и, следовательно, отрезку HA. При этом OA = R, OH = d, а HA равен радиусу сечения r. По теореме Пифагора R² = d² + r², откуда r = √(R² − d²). Формула применима, когда плоскость действительно пересекает сферу, то есть d < R.

Сравнение d и R объясняется длиной кратчайшего пути от центра до плоскости. Если d < R, плоскость проходит внутри сферы и встречает её по окружности. Если d = R, ближайшая точка плоскости находится ровно на сфере, а остальные точки плоскости дальше центра, поэтому общей остаётся только одна точка. Если d > R, даже ближайшие точки плоскости удалены от центра больше чем на R, и пересечения нет.

При касании радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости. Действительно, кратчайшее расстояние от центра до плоскости равно радиусу сферы, а его конец лежит на сфере и одновременно на плоскости. Поэтому этот конец и есть точка касания, а соединяющий его с центром отрезок является перпендикуляром к плоскости.

Основание перпендикуляра всегда показывает ближайшую к центру точку плоскости, но его смысл зависит от взаимного расположения. При пересечении оно лежит внутри окружности сечения и служит её центром. При касании окружность сечения вырождается в одну точку, поэтому основание перпендикуляра уже не центр окружности, а точка касания. При d > R основание не принадлежит сфере.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Сначала найдите d и R, затем выберите строку с соответствующим условием. Если подходит первая строка, дополнительное соотношение позволяет вычислить радиус окружности сечения. Во второй строке окружность заменяется единственной точкой, а в третьей общей части у сферы и плоскости нет.

Разбор задач

Радиус сферы 5 см, расстояние до плоскости 3 см

Нужно выяснить, пересекает ли плоскость сферу, и определить радиус сечения. Удобно сначала сравнить расстояние от центра до плоскости с радиусом сферы: это сразу определяет вид пересечения. Затем, если пересечение есть, можно найти радиус окружности по прямоугольному треугольнику.

1. Имеем R = 5 см и d = 3 см. Так как 3 < 5, плоскость пересекает сферу по окружности.
2. Используем формулу r = √(R² − d²). Подставляем значения: r = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 см.

Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности радиуса 4 см. Проверка по теореме Пифагора даёт 4² + 3² = 25 = 5². Значит, вычисленный радиус согласуется с условием.

Радиус сферы 13 см, радиус сечения 5 см

Плоскость уже пересекает сферу по окружности, поэтому радиус сечения и радиус сферы — катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника вместе с расстоянием d. Требуется найти неизвестный катет. Важно не вычитать радиусы напрямую: квадрат расстояния определяется теоремой Пифагора.

1. Записываем R = 13 см, r = 5 см и соотношение r² + d² = R². Отсюда d² = R² − r².
2. Подставляем: d = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см. Берём положительный корень, поскольку расстояние не бывает отрицательным.

Ответ: расстояние от центра сферы до плоскости равно 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Это подтверждает результат.

Сфера задана уравнением, плоскость задана уравнением

Сфера имеет уравнение (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 100, а плоскость — 2x − 2y + z − 9 = 0. Сначала распознаём центр и радиус сферы в стандартной записи, затем вычисляем расстояние от центра до плоскости. Сравнение этих величин даст вид пересечения.

1. Из уравнения сферы получаем центр O(1, −2, 3) и радиус R = √100 = 10. Для плоскости A = 2, B = −2, C = 1, D = −9.
2. Находим расстояние: d = |2·1 − 2·(−2) + 1·3 − 9| / √(2² + (−2)² + 1²) = |0| / 3 = 0. Центр лежит в плоскости, так как подстановка его координат даёт ноль.
3. Поскольку 0 < 10, плоскость пересекает сферу по окружности. По формуле r = √(R² − d²) получаем r = √(100 − 0) = 10 см.

Ответ: плоскость проходит через центр сферы и пересекает её по окружности радиуса 10. В данном случае окружность сечения имеет тот же радиус, что и сфера.

Типичные ошибки

Некоторые сравнивают расстояние d с радиусом сечения, хотя до вычисления сечения этот радиус обычно неизвестен. Вид пересечения определяют именно по сравнению d с радиусом сферы R. Ошибка возникает из-за смешения двух радиусов; проверьте себя: сначала найдите центр сферы, R и d, и лишь затем решайте, нужна ли формула для r.

Другая ошибка — считать радиус сечения равным радиусу сферы. Это верно только при d = 0, когда плоскость проходит через центр; в остальных случаях r² + d² = R². Путаница появляется, если не учитывать прямоугольный треугольник. Для проверки подставьте найденные значения в это равенство.

При d = R иногда делают вывод, что общих точек нет. На самом деле ближайшая к центру точка плоскости лежит на сфере, поэтому она и является единственной точкой касания. Такая ошибка возникает, когда случай равенства объединяют со случаем d > R. Проверьте отдельно все три варианта: меньше, равно и больше.

Основание перпендикуляра при касании иногда называют центром окружности сечения. Но при d = R пересечение состоит из одной точки, а окружности с положительным радиусом нет. Поэтому основание здесь — точка касания; центром окружности сечения оно служит только при d < R. Сверьте название с числом общих точек.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия расстояния от точки до плоскости и перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема Пифагора связывает радиус сферы, расстояние до плоскости и радиус сечения. Если задача задана координатами, пригодится формула расстояния от точки до плоскости. Эти знания позволяют решать задачи на сечения тел и расстояния в пространстве, а также анализировать взаимное расположение плоскостей и сфер.

Что запомнить

• Взаимное расположение сферы и плоскости определяется сравнением d и R.
• При d < R плоскость пересекает сферу по окружности.
• При d = R плоскость касается сферы в одной точке.
• При d > R плоскость и сфера не имеют общих точек.
• Перпендикуляр из центра сферы к плоскости проходит через центр окружности сечения.
• Для радиуса сечения выполняется r² + d² = R².