§ 31. Взаимное расположение сферы и плоскости

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от центра. Центр обычно обозначают буквой O, а это расстояние называют радиусом и обозначают R. Сфера является только поверхностью шара, поэтому при касании рассматривают именно точки поверхности.

Расстояние от центра сферы до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из центра O на плоскость. Обозначим это расстояние буквой d. Оно показывает самое короткое расстояние от центра до всех точек плоскости и используется для сравнения с R.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Такое положение возникает, когда плоскость подходит к сфере настолько близко, что пересечь поверхность уже не может.

Секущая плоскость — плоскость, пересекающая сферу по окружности. Центр окружности обозначим H, а её радиус — r. Эти обозначения позволяют связать радиус сечения, радиус сферы и расстояние d с помощью теоремы Пифагора.

Как это устроено

Пусть из центра O опущен перпендикуляр OH на плоскость, а H — его основание. Если плоскость пересекает сферу в точке A, то OA = R, а угол OHA прямой, потому что OH перпендикулярен всей плоскости. Для любой другой точки пересечения B треугольник OHB также прямоугольный и имеет гипотенузу R. Поэтому HA = HB: основание перпендикуляра равноудалено от всех точек сечения и является центром окружности.

Взаимное положение определяется сравнением d и R. Если d больше R, ближайшие к центру точки плоскости находятся дальше поверхности сферы, поэтому общих точек нет. Если d равно R, плоскость достигает сферы в предельной точке, а при d меньше R расстояние можно уменьшить в разных направлениях внутри плоскости, и появляется окружность пересечения.

При d = R перпендикуляр OH заканчивается на поверхности сферы, поскольку OH имеет длину радиуса. Любая другая точка плоскости находится от O дальше, чем H: перпендикуляр является кратчайшим отрезком от точки до плоскости. Значит, такие точки уже не могут лежать на сфере радиуса R, и общей точкой остаётся только H, являющаяся точкой касания.

При d < R возьмём точку A окружности сечения и её центр H. Треугольник OHA прямоугольный, причём OA = R, OH = d, HA = r. По теореме Пифагора r² + d² = R², откуда r = √(R² − d²). Наибольшее сечение получается при d = 0: плоскость проходит через O, а r = √R² = R, поэтому сечение называют большим кругом.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите расстояние d от центра сферы до плоскости, а затем сравните его с R. Строка d = 0 является особым случаем секущей плоскости и одновременно показывает максимальный радиус сечения. При d = R окружность вырождается в одну точку, поэтому плоскость называют касательной.

Разбор задач

Задача 1

Радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра до плоскости — 7 см. Требуется определить взаимное расположение. Здесь известны обе величины, которые непосредственно задают положение плоскости относительно сферы.

1. Запишем данные: R = 5 см, d = 7 см.
2. Сравним их: 7 > 5, то есть d > R.
3. По правилу для этого случая плоскость находится дальше поверхности сферы, чем позволяет её радиус.

Ответ: плоскость и сфера не имеют общих точек.

Задача 2

Радиус сферы равен 13 см, расстояние от центра до плоскости — 5 см. Нужно найти радиус окружности пересечения. Так как 5 < 13, плоскость является секущей, поэтому применима формула сечения.

1. Используем равенство r² + d² = R².
2. Подставим значения: r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Извлечём квадратный корень: r = √144 = 12 см.

Ответ: радиус окружности пересечения равен 12 см.

Задача 3

Сфера радиуса 10 см пересекается плоскостью по окружности радиуса 6 см. Найдём расстояние от центра до плоскости и число плоскостей фиксированного направления. Одно и то же расстояние может соответствовать положениям по разные стороны от центра.

1. Из r² + d² = R² получаем d² = R² − r².
2. Подставим числа: d² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, значит d = 8 см.
3. Для заданного направления возможны две параллельные плоскости: одна на расстоянии 8 см по одну сторону от O, другая — на таком же расстоянии по другую.

Ответ: расстояние равно 8 см; можно провести две такие плоскости фиксированного направления.

Типичные ошибки

Путают сферу с шаром. Сфера — только внешняя поверхность, а шар включает все внутренние точки. Поэтому при касании сферы с плоскостью общей является одна точка, а не целый круг или полупространство.

Называют случай d = R секущим. Ошибка появляется из-за широкого смысла слова «пересекаться». При равенстве плоскость имеет лишь одну общую точку, поэтому она касательная; секущей её называют только при d < R.

Пишут r² = R² + d². В прямоугольном треугольнике OHA гипотенуза OA равна R, а катеты — d и r. Поэтому верно r² + d² = R², а проверить знак можно по условию r < R.

Берут расстояние до произвольной точки плоскости. Такой отрезок обычно длиннее кратчайшего расстояния. Проверка проста: d должен измеряться именно по перпендикуляру из O к плоскости.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение сферы, понятия центра и радиуса, а также расстояние от точки до плоскости. Существенно свойство перпендикуляра к плоскости: он задаёт кратчайшее расстояние.

При вычислении радиуса сечения используется теорема Пифагора и свойства прямоугольного треугольника. Эти знания позволяют переходить от геометрической картины к формуле r = √(R² − d²).

Тема применяется в задачах на сечения шара и сферы, касательные плоскости и пространственные тела. Она также помогает понимать, почему плоскости одного направления могут давать одинаковые сечения.

Что запомнить

• Взаимное расположение определяется сравнением d и R.
• При d > R сфера и плоскость не имеют общих точек.
• При d = R плоскость касается сферы в одной точке.
• При d < R пересечением является окружность.
• Перпендикуляр из центра к секущей плоскости проходит через центр окружности сечения.
• Радиус сечения вычисляется по формуле r = √(R² − d²).