§ 32. Многогранники, вписанные в сферу

Определения и обозначения

Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на этой сфере. Иными словами, от центра сферы до каждой вершины можно провести радиус одинаковой длины. Это определение позволяет свести вопрос о вписывании к проверке расстояний и помогает находить неизвестные элементы фигуры.

Сферу, на которой лежат вершины многогранника, называют описанной около него. Её центр обозначают O, а радиус — R; поэтому для каждой вершины A выполняется OA = R. Эти обозначения удобны, когда нужно записать условие задачи формулой и сравнить расстояния от центра до разных вершин.

Центр описанной сферы — точка, равноудалённая от всех вершин многогранника. Для поиска такой точки используют симметрию тела, перпендикулярные плоскости к отрезкам между вершинами и известные свойства отдельных многогранников. Если подходящая точка найдена, равенство расстояний до вершин служит проверкой, что сфера действительно проходит через все вершины.

Как это устроено

У сферы все точки находятся на одном расстоянии от центра, поэтому условие вписанности требует равенства расстояний от некоторой точки до всех вершин. Если обозначить вершины A₁, A₂ и далее, то для центра O нужно получить OA₁ = OA₂ = … = R. Это не означает, что грани касаются сферы: на ней находятся именно вершины, а внутренние точки рёбер и граней обычно расположены внутри сферы.

Чтобы отыскать центр, полезно начать с двух вершин A и B. Все точки, равноудалённые от A и B, лежат в плоскости, перпендикулярной AB и проходящей через его середину. Для трёх вершин соответствующие условия обычно пересекают несколько таких плоскостей и задают кандидата на центр. Затем проверяют расстояния до остальных вершин: равенства только для трёх точек недостаточно, если у многогранника есть другие вершины.

У правильных многогранников задача упрощается благодаря симметрии: центр симметрии равноудалён от всех вершин. Например, у куба это точка пересечения пространственных диагоналей. Каждая такая диагональ проходит через центр и соединяет две противоположные вершины, поэтому её длина равна диаметру описанной сферы. Значит, если длина диагонали равна d, то R = d/2.

Для куба с ребром a пространственную диагональ можно найти по теореме Пифагора. Сначала диагональ грани равна a√2, затем диагональ куба удовлетворяет d² = (a√2)² + a² = 3a². Поэтому d = a√3, а радиус описанной сферы равен a√3/2. Такой способ показывает, почему в формуле появляется √3: учитываются три взаимно перпендикулярных направления ребер.

Не всякий многогранник автоматически можно вписать в сферу. Для конкретной фигуры необходимо, чтобы все её вершины оказались на одной сфере; иногда это следует из симметрии, а иногда требуется отдельное доказательство. Если условие не выполняется, равенство расстояний от предполагаемого центра нарушается, и общей описанной сферы нет.

Радиусы описанных сфер правильных многогранников

Здесь a — длина ребра, а R — радиус сферы, проходящей через вершины. Таблица подходит для правильных многогранников; её формулы нельзя переносить на произвольное тело только потому, что у него столько же вершин. Перед подстановкой проверьте, что дан именно правильный многогранник и что требуется радиус описанной, а не вписанной сферы.

Разбор задач

Задача. Найдите радиус сферы, описанной около куба с ребром 6 см. Решение удобно начать не с поиска центра по координатам, а с использования симметрии: у куба центр сферы находится в центре куба, а расстояние до любой вершины одинаково. Отрезок от центра до вершины — половина пространственной диагонали, поэтому остаётся найти её длину.

1. Обозначим ребро куба через a, а его пространственную диагональ — через d. Диагональ грани равна √(a² + a²) = a√2 по теореме Пифагора. Этот промежуточный результат нужен, чтобы затем рассмотреть прямоугольный треугольник внутри куба.

2. Пространственная диагональ, диагональ грани и ребро образуют прямоугольный треугольник. Поэтому d² = (a√2)² + a² = 2a² + a² = 3a², откуда d = a√3. Берём положительный корень, поскольку длина не может быть отрицательной.

3. Центр куба делит пространственную диагональ пополам, следовательно, радиус равен R = d/2 = a√3/2. При a = 6 см получаем R = 6√3/2 = 3√3 см. Это и есть расстояние от центра куба до любой из его восьми вершин.

Ответ: 3√3 см. Проверка смысла результата: радиус должен быть меньше пространственной диагонали, потому что он составляет её половину. Приближённо R ≈ 5,2 см, а d ≈ 10,4 см, что согласуется с геометрической картиной.

Типичные ошибки

• Путают многогранник, вписанный в сферу, со сферой, вписанной в многогранник. Это происходит из-за сходных формулировок, хотя в первом случае на сфере лежат вершины, а во втором сфера касается граней. Проверьте, что именно требуется в задаче: перечислить вершины или указать точки касания граней.

• Считают радиусом описанной сферы пространственную диагональ куба целиком. Ошибка возникает, если забыть, что диагональ проходит через центр и соединяет две противоположные вершины. Разделите её длину на два и убедитесь, что радиус — это расстояние от центра до одной вершины.

• Подставляют формулу для правильного многогранника в задачу о произвольном многограннике. Знакомая формула может выглядеть подходящей, но зависит от правильности и равенства рёбер и углов. Перед вычислением проверьте условие; для общего случая докажите равенство расстояний от предполагаемого центра до всех вершин.

• Проверяют равные расстояния лишь до нескольких вершин и сразу делают вывод о существовании сферы. Несколько вершин могут лежать на одной сфере, а остальные — нет. В конце решения сопоставьте расстояния до каждой вершины или обоснуйте, что симметрия многогранника обеспечивает их равенство.

Связь с другими темами

Задачи о вписанных многогранниках используют теорему Пифагора: с её помощью находят диагонали граней и пространственные диагонали. Свойства симметрии помогают определять центр сферы, а формулы расстояния между точками позволяют проверять, равноудалены ли вершины. Тема также связана с правильными многогранниками и телами вращения: в обоих случаях рассматривают центр и радиус, но сфера проходит через вершины многогранника, а не обязательно касается его граней.

Что запомнить

• Многогранник вписан в сферу, когда все его вершины лежат на этой сфере.
• Центр описанной сферы равноудалён от каждой вершины, а это расстояние равно R.
• У куба с ребром a пространственная диагональ равна a√3, поэтому R = a√3/2.
• Не смешивай описанную около многогранника сферу и сферу, вписанную в многогранник.
• После вычислений проверь, что найденный центр одинаково удалён от всех вершин.