§ 33. Многогранники, описанные около сферы

Определения и обозначения

Многогранник, описанный около сферы, — это многогранник, все грани которого касаются одной сферы. Иными словами, сфера располагается внутри многогранника и соприкасается с каждой его гранью. Определение помогает понять, какие условия нужно проверить, чтобы говорить об описанном многограннике.

Сфера, вписанная в многогранник, — сфера, касающаяся каждой его грани. Это тот же объект, но название подчёркивает сферу, расположенную внутри многогранника. Такое понятие используют, когда ищут радиус сферы или связывают её с размерами тела.

Центр вписанной сферы — точка, равноудалённая от плоскостей всех граней многогранника. Речь идёт именно о расстояниях до плоскостей, содержащих грани. По этому условию можно искать положение центра, например, пользуясь симметрией фигуры.

Радиус вписанной сферы — расстояние от её центра до любой грани многогранника. Поскольку сфера касается всех граней, расстояния до их плоскостей одинаковы. Радиус обозначают r и используют, в частности, в формуле объёма описанного многогранника.

Как это устроено

Плоскость грани касается сферы в одной точке. Радиус, проведённый в эту точку, перпендикулярен касательной плоскости: если бы он не был перпендикулярен, расстояние от центра до плоскости можно было бы уменьшить. Поэтому для проверки касания сначала находят расстояние от центра сферы до плоскости грани. Если это расстояние равно радиусу, плоскость касается сферы.

Одного равенства расстояний недостаточно, чтобы получить вписанную сферу. Центр должен находиться внутри многогранника, а расстояние от него до каждой грани должно быть одним и тем же числом r. Тогда сфера с центром в этой точке и радиусом r касается всех плоскостей граней. Если центр окажется снаружи, равенство расстояний само по себе не даст сферы, вписанной в тело.

В точке касания радиус перпендикулярен плоскости соответствующей грани. Это свойство особенно полезно, когда рассматривают сечение многогранника: в нём можно увидеть прямоугольный треугольник и связать радиус с другими отрезками. Так находят неизвестные длины или углы, не пытаясь сразу работать со всем объёмным телом.

Связать радиус с объёмом позволяет разбиение многогранника на пирамиды. Их вершиной служит центр сферы, а основаниями — грани исходного многогранника; высота каждой пирамиды равна расстоянию от центра до плоскости её основания, то есть r. Объём каждой равен площади основания, умноженной на r/3. Складывая объёмы и площади всех оснований, получаем V = rS/3, где S — полная площадь поверхности.

У правильного многогранника грани и вершины расположены симметрично. Поэтому центр вписанной сферы ищут в центре симметрии или в точке пересечения осей симметрии: такое положение позволяет получить одинаковые расстояния до граней. После этого достаточно найти расстояние от центра до плоскости одной грани. Симметрия гарантирует, что расстояние до остальных граней будет таким же.

Сфера, вписанная в многогранник: основные условия и следствия

Сначала выберите в таблице ситуацию, которая соответствует условию задачи, затем используйте указанное свойство. При поиске сферы проверьте и положение центра, и расстояния до всех граней. Для объёма подставляйте в формулу полную площадь поверхности.

Разбор задач

Задача 1. Даны координаты центра сферы O(x₀; y₀; z₀) и уравнение плоскости грани Ax + By + Cz + D = 0. Найдите расстояние от центра до плоскости и определите радиус сферы, если грань касается её. Идея состоит в том, что кратчайшее расстояние до плоскости в точке касания равно радиусу.

1. Выпишем коэффициенты A, B, C, D и координаты центра из условия задачи.
2. Вычислим расстояние по формуле d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²). Знаменатель учитывает длину вектора нормали к плоскости, а модуль делает расстояние неотрицательным.
3. Если плоскость касается сферы, положим r = d. Чтобы подтвердить, что касается именно конечная грань, а не только содержащая её плоскость, дополнительно проверим, что точка касания лежит внутри грани.

Ответ: радиус сферы равен |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²), если плоскость грани касается сферы. В конкретной задаче в эту формулу подставляют данные координаты и коэффициенты.

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде высота равна h, сторона основания — a. Найдите радиус вписанной сферы. Из-за симметрии центр сферы лежит на высоте пирамиды, но удобнее сначала найти радиус через объём и полную площадь поверхности.

1. Площадь основания равна √3a²/4, поэтому объём пирамиды V = (1/3) · (√3a²/4) · h = √3a²h/12.
2. Высота боковой грани, проведённая к стороне основания, равна l = √(h² + a²/12). Действительно, её проекция на основание — расстояние от центра равностороннего треугольника до стороны, равное a√3/6.
3. Площадь трёх боковых граней равна 3al/2, а полная площадь поверхности S = √3a²/4 + 3al/2. Подставим объём и площадь в r = 3V/S, полученную из V = rS/3.
4. После подстановки получаем r = √3a²h/[4(√3a²/4 + 3al/2)], где l = √(h² + a²/12). Формула выражает радиус через заданные размеры пирамиды.

Ответ: r = √3a²h/[4(√3a²/4 + 3a√(h² + a²/12)/2)].

Задача 3. Многогранник описан около сферы радиуса r, а его полная площадь поверхности равна S. Найдите объём. Разобьём многогранник на пирамиды: общая для них вершина — центр сферы, а основания совпадают с гранями.

1. Расстояние от центра сферы до плоскости каждой грани равно r. Значит, высота каждой пирамиды с основанием на грани также равна r.
2. Объём пирамиды с площадью основания Sᵢ равен Sᵢr/3. Складывая объёмы, выносим общий множитель r/3: V = (r/3) · ΣSᵢ.
3. Сумма площадей всех граней ΣSᵢ равна полной площади поверхности многогранника S. Поэтому V = rS/3.

Ответ: V = rS/3. В формуле используется сумма площадей всех граней, потому что именно они образуют основания пирамид.

Типичные ошибки

• Считать, что достаточно касания нескольких граней. Так можно ошибиться, потому что определение вписанной сферы требует касания каждой грани многогранника. Проверьте условие для всех граней, а не только для удобных или симметричных.

• Приравнять расстояния до граней, не проверив, что предполагаемый центр внутри многогранника. Равные расстояния могут быть и у точки снаружи, но такая сфера не будет вписана в тело. Проверьте положение центра относительно всех граней.

• Считать, что касание плоскости автоматически означает касание самой грани. Точка касания может оказаться за пределами многоугольника, поэтому сфера будет касаться продолжения грани, а не грани. Найдите точку касания и убедитесь, что она принадлежит многоугольнику.

• Подставлять в V = rS/3 площадь основания вместо полной площади поверхности. Ошибка возникает из-за привычки использовать площадь основания в формуле объёма одной пирамиды. Здесь суммируют основания всех пирамид, поэтому проверьте, что S включает площади всех граней.

Связь с другими темами

Для этой темы понадобятся расстояние от точки до плоскости, свойства перпендикуляра и формула объёма пирамиды: V = ⅓Sh. Вместе они объясняют, почему расстояние до грани становится высотой пирамиды и как возникает формула объёма описанного многогранника. Эти знания применяются в задачах на объём и площадь многогранников, а также при изучении правильных многогранников и геометрических тел.

Что запомнить

• Вписанная в многогранник сфера касается каждой его грани.
• Центр вписанной сферы равноудалён от плоскостей всех граней.
• Радиус к точке касания перпендикулярен плоскости грани.
• Радиус равен расстоянию от центра сферы до любой грани.
• Для многогранника со вписанной сферой V = rS/3.
• В этой формуле S — полная площадь поверхности многогранника.