"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Сечение цилиндра плоскостью — фигура, которая получается при пересечении цилиндра с плоскостью. В зависимости от положения плоскости сечением может быть круг, прямоугольник или эллипс; иногда границы цилиндра ограничивают часть фигуры. Чтобы решить задачу, сначала определяют положение плоскости относительно оснований и оси, а затем находят размеры сечения. Это помогает вычислять площади и разбираться в сечениях других пространственных тел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение цилиндра плоскостью — фигура, полученная при пересечении цилиндра с плоскостью. Её форма зависит от того, как расположена плоскость относительно оснований, оси и боковой поверхности. Это понятие позволяет заменить пространственную задачу изучением более простой плоской фигуры. По её форме и размерам затем находят площадь сечения.
Осевое сечение цилиндра — сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. У прямого кругового цилиндра оно является прямоугольником, стороны которого равны высоте и диаметру основания. Такое сечение удобно для задач, где одновременно используются высота цилиндра и радиус основания. Оно показывает, как ось связана с боковой поверхностью.
Круговое сечение цилиндра — сечение плоскостью, параллельной основаниям; оно является кругом, равным основанию. Слово «равным» здесь означает, что у кругов одинаковы форма и размеры. Поэтому радиус такого сечения равен радиусу основания независимо от того, насколько высоко расположена плоскость. Это сразу упрощает вычисление площади.
Эллиптическое сечение цилиндра получается, когда наклонная к основаниям плоскость пересекает боковую поверхность и не параллельна образующим. Его форма — эллипс, если границы цилиндра не отсекли часть фигуры. Эллипс отличается от круга тем, что имеет большую и малую полуоси. Это определение помогает распознавать наклонные сечения и устанавливать, какие размеры для них нужны.
Положение секущей плоскости определяет, какие линии она оставит на основаниях и боковой поверхности. Если плоскость параллельна основаниям, её пересечение с цилиндром круговое; если она проходит через ось, сечение прямоугольное. Наклонная плоскость, не параллельная образующим, пересекает боковую поверхность по эллипсу. Поэтому перед вычислениями нужно мысленно установить направление плоскости, а не угадывать фигуру по одному слову «сечение».
Плоскость, параллельная основаниям, даёт круг того же радиуса, потому что в прямом круговом цилиндре радиус боковой поверхности не меняется по высоте. Каждая точка сечения находится от оси на расстоянии r — радиусе основания. Значит, граница сечения является окружностью радиуса r, а сама фигура — кругом. Его площадь равна πr², как и площадь основания.
В осевом сечении плоскость содержит ось, поэтому в каждом основании она проходит через центр круга. Хорда, проходящая через центр, является диаметром, и обе границы сечения на основаниях имеют длину 2r. Боковую поверхность плоскость пересекает по двум образующим, а образующие прямого цилиндра равны его высоте h. Получается прямоугольник со сторонами 2r и h, его площадь равна 2rh.
Если плоскость параллельна оси, но не проходит через неё, в основании вместо диаметра возникает хорда. В верхнем и нижнем основаниях получаются равные параллельные хорды, поскольку круги оснований одинаковы и плоскости параллельны. Боковые стороны сечения лежат на образующих цилиндра и имеют длину h. Поэтому сечение снова прямоугольное, но его ширина определяется длиной хорды, а не обязательно диаметром.
Наклонное сечение боковой поверхности имеет эллиптическую форму: при наклоне плоскости расстояния, которые соответствуют ширине фигуры, растягиваются в направлении наклона. Для полного сечения бесконечного цилиндра малая полуось эллипса равна радиусу основания r, а большая полуось при угле α между плоскостью и основанием равна r/cos α. Чем ближе плоскость к вертикальному положению, тем больше большая полуось. Однако цилиндр имеет конечную высоту: если эллипс выходит за его основания, часть фигуры будет отсечена.
| Положение плоскости | Форма сечения | Что определяет размеры |
|---|---|---|
| Параллельна основаниям | Круг | Радиус основания |
| Проходит через ось | Прямоугольник | Диаметр основания и высота цилиндра |
| Параллельна оси, но не проходит через неё | Прямоугольник | Длина хорды основания и высота цилиндра |
| Наклонна к основаниям и не параллельна образующим | Эллипс, если его не ограничивают основания | Радиус основания и угол наклона плоскости |
Сначала найдите в таблице описание положения плоскости, которое дано в условии, и определите форму сечения. Затем выпишите величины, задающие его стороны или полуоси. Для конечного цилиндра отдельно проверьте, не ограничивают ли основания наклонную фигуру.
Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота — 7 см. Найдите площадь осевого сечения. Осевое сечение прямого кругового цилиндра — прямоугольник: нужно определить обе его стороны, прежде чем находить площадь.
Ответ: 56 см². Здесь важно использовать диаметр, а не радиус: осевая плоскость проходит через центр основания.
Задача 2. Радиус основания цилиндра равен 5 см. Плоскость параллельна основаниям и удалена от нижнего основания на 3 см. Определите форму сечения и его площадь. Расстояние указывает положение плоскости по высоте, но не меняет её параллельность основанию.
Ответ: круг, 25π см² (примерно 78,5 см²).
Задача 3. Радиус основания цилиндра равен 3 см. Плоскость параллельна оси и отстоит от неё на 2 см. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 8 см. Чтобы найти площадь прямоугольника, сначала требуется определить ширину — хорду основания.
Ответ: 16√5 см² (примерно 35,8 см²). Расстояние от оси меньше радиуса, поэтому плоскость действительно пересекает цилиндр.
Называть любое сечение кругом. Круг получается только при плоскости, параллельной основаниям, но его часто путают с любым «поперечным» сечением. В осевом или наклонном положении фигура будет другой. Для проверки сравните направление плоскости с плоскостями оснований. Если они не параллельны, круговое сечение не подходит.
Считать, что плоскость, параллельная оси, обязательно проходит через неё. Параллельная оси плоскость может быть сдвинута в сторону, поэтому в основании она пересечёт круг по хорде, а не по диаметру. Ошибка возникает, когда слово «параллельна» принимают за «совпадает с направлением и проходит через». Проверьте, сказано ли в условии, что плоскость содержит ось. Если нет, длину хорды нужно определять отдельно.
Брать радиус вместо диаметра в осевом сечении. Ширина осевого прямоугольника равна диаметру, потому что плоскость пересекает основание через его центр. Радиус — это только половина ширины, и его подстановка уменьшит площадь вдвое. Перед вычислением нарисуйте прямоугольник и подпишите стороны. Сравните ширину с формулой 2r.
Считать наклонное сечение полным эллипсом, не проверив высоту цилиндра. Геометрически боковая поверхность даёт эллипс, но конечные основания могут отсечь его часть. Такую ошибку допускают, рассматривая только наклон плоскости и забывая о границах тела. Проверьте, целиком ли эллипс помещается между основаниями. Если данных о высоте или положении плоскости для проверки недостаточно, утверждать, что сечение полное, нельзя.
Для этой темы нужно знать элементы прямого кругового цилиндра: основания, ось, радиус, высоту и образующую. Свойства сечения плоскостью, параллельной оси, опираются на умение находить хорду окружности по радиусу и расстоянию от центра до хорды. Такое вычисление выполняют с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора. Навык пригодится в задачах на площади сечений цилиндра и других тел, а также при изучении сечений тел вращения.
Какие фигуры могут получаться при сечении цилиндра плоскостью?
В прямом круговом цилиндре сечение может быть кругом, прямоугольником или эллипсом. Форма зависит от положения плоскости относительно оснований и оси; у конечного цилиндра часть наклонного сечения может быть отсечена.
Почему сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, равно основанию?
Все точки такого сечения находятся на одном и том же расстоянии от оси, поэтому оно является кругом того же радиуса, что и основание. Круговое сечение конгруэнтно основанию, то есть совпадает с ним по форме и размерам.
Как выглядит осевое сечение цилиндра?
Это прямоугольник. Его стороны равны высоте цилиндра и диаметру основания: секущая плоскость пересекает основания по диаметрам, а боковую поверхность — по двум образующим.
Как найти ширину сечения плоскостью, параллельной оси?
Ширина равна длине хорды основания, которую плоскость вырезает в круге. Если известны радиус r и расстояние d от центра основания до хорды, её длина равна 2√(r² − d²).
Всегда ли наклонное сечение цилиндра является полным эллипсом?
Нет. Плоскость пересекает боковую поверхность по эллипсу, если она наклонена к основаниям и не параллельна образующим. Но в конечном цилиндре основания могут ограничить сечение, поэтому полученная фигура не всегда будет полным эллипсом.
§ 34. Сечения цилиндра плоскостью
