"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Симметрия пространственной фигуры — такое её преобразование, после которого фигура совпадает сама с собой. Преобразование задают точкой, прямой или плоскостью; каждому объекту соответствует своё условие для пар точек. По симметрии можно находить равные части и устанавливать взаимное расположение элементов. При этом симметрию нужно проверять для всей фигуры: например, прямая через её центр не обязательно будет осью, а плоскость посередине — плоскостью симметрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центральная симметрия — преобразование пространства относительно точки, при котором она является серединой отрезка между соответствующими точками. Например, точка A переходит в A′, а центр O лежит посередине AA′. Это определение позволяет проверять, действительно ли выбранная точка служит центром симметрии всей фигуры.
Осевая симметрия — преобразование пространства относительно прямой: соответствующие точки переходят друг в друга при повороте на 180° вокруг этой прямой. Саму прямую называют осью симметрии. Такое описание нужно, чтобы отличать ось симметрии от любой прямой, которая просто проходит через фигуру.
Плоскость симметрии — плоскость, относительно которой соответствующие точки фигуры являются зеркальными отражениями. Каждая точка вне плоскости переходит в точку на другой стороне, на таком же расстоянии от неё. Это определение помогает проверить, делит ли плоскость фигуру на зеркально совпадающие части.
Симметрия пространственной фигуры — совпадение фигуры с собой после преобразования симметрии. Преобразование может быть центральным, осевым или отражением относительно плоскости. Понятие используют, чтобы выявлять повторяющееся устройство фигуры и устанавливать равенство её частей.
Чтобы проверить, является ли точка центром симметрии, возьмите пары соответствующих точек фигуры и соедините их отрезками. Предполагаемый центр должен быть серединой каждого такого отрезка, а не только одного из них. Это следует из определения центральной симметрии: каждая точка должна перейти в свою противоположную относительно центра. Если хотя бы для одной пары условие не выполняется, выбранная точка не подходит.
При повороте на 180° вокруг прямой точка движется по полуокружности в плоскости, перпендикулярной этой прямой. Поэтому исходная и полученная точки лежат на прямой, перпендикулярной оси, а сама ось проходит через середину соединяющего их отрезка. Так объясняется правило проверки осевой симметрии: отрезок между соответствующими точками должен быть перпендикулярен оси и делиться ею пополам. Точки на оси не перемещаются, потому что поворот оставляет каждую из них на месте.
Отражение относительно плоскости меняет местами две стороны фигуры, сохраняя расстояния до плоскости. Поэтому для каждой точки с одной стороны должна найтись соответствующая точка с другой стороны на том же перпендикуляре. Если мысленно сложить фигуру по плоскости, её части должны совпасть. Именно зеркальное совпадение, а не просто прохождение плоскости через середину, делает её плоскостью симметрии.
У фигуры могут быть разные оси и плоскости симметрии: каждая из них должна отдельно сохранять всю фигуру. Например, у шара бесконечно много осей и плоскостей, потому что его форма одинакова во всех направлениях от центра. У других фигур симметрии может не быть вовсе, если ни одно из таких преобразований не сохраняет их форму. Центр симметрии у ограниченной фигуры, если он существует, только один: две разные центральные симметрии в совокупности дали бы сдвиг фигуры.
Симметрия помогает находить равные элементы, потому что поворот и отражение сохраняют расстояния и углы. Если преобразование переводит одну грань в другую, их соответствующие стороны и углы равны. Тем же способом можно установить, какие рёбра или вершины занимают одинаковое положение. Это позволяет обосновать равенство элементов не по внешнему сходству, а свойствами преобразования.
| Вид симметрии | Задающий объект | Условие для соответствующих точек | Примеры фигур |
|---|---|---|---|
| Центральная симметрия | Точка — центр симметрии | Центр является серединой отрезка между точками | Шар, прямоугольный параллелепипед |
| Осевая симметрия | Прямая — ось симметрии | Отрезок между точками перпендикулярен оси и делится ею пополам | Шар, куб, правильная пирамида |
| Симметрия относительно плоскости | Плоскость симметрии | Плоскость перпендикулярна отрезку между точками и проходит через его середину | Шар, куб, прямоугольный параллелепипед |
Сначала найдите задающий объект: точку, прямую или плоскость. Затем проверьте указанное условие для соответствующих точек и убедитесь, что после преобразования совпадает вся фигура. Примеры в таблице показывают возможные случаи, но сами по себе не означают, что у каждой фигуры есть все три вида симметрии.
Условие. Укажите, какие виды симметрии имеют шар и куб. Важно не ограничиваться центральной точкой: оси и плоскости проверяются отдельно. Используем определения и то, что преобразования сохраняют расстояния.
Ответ. У шара есть один центр, бесконечно много осей и бесконечно много плоскостей симметрии. У куба есть один центр, 15 осей поворота на 180° и 9 плоскостей симметрии.
Условие. Найдите число центров, осей и плоскостей симметрии такого параллелепипеда. Пусть длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, попарно различны. Это исключает дополнительные симметрии, которые могли бы появиться при равных размерах.
Ответ. Один центр, три оси и три плоскости симметрии.
Условие. Определите симметрии правильной четырёхугольной пирамиды при различных соотношениях высоты и стороны основания. Пусть вершина находится над центром квадратного основания. Проверим ось через эти точки и плоскости, проходящие через неё.
Ответ. При любом положительном отношении высоты к стороне основания у пирамиды одна ось симметрии указанного типа и четыре плоскости симметрии через неё; центра симметрии нет.
Называют любую прямую через центр осью симметрии. Так ошибаются, потому что принимают прохождение через центр за достаточное условие. Проверьте поворот на 180°: если хотя бы одна вершина или грань не переходит в соответствующую часть фигуры, оси нет.
Считают плоскостью симметрии любую плоскость, проходящую через середину фигуры. Но она может разделить фигуру на части разной формы. Для проверки мысленно отразите одну часть в другую и убедитесь, что соответствующие точки лежат на перпендикулярах к плоскости и на одинаковом расстоянии от неё.
Полагают, что при симметрии все точки фигуры перемещаются. На самом деле неподвижными остаются точки центра при центральной симметрии, точки оси при повороте и точки плоскости при отражении. Проверяйте, какой объект задаёт преобразование: именно его точки остаются на месте.
Переносят на пространство представление об осевой симметрии плоской фигуры без изменений. В плоскости ось обычно задаёт отражение, а в пространстве осевая симметрия определяется поворотом на 180° вокруг прямой; кроме того, существует отражение относительно плоскости. Уточните вид преобразования и проверьте его действие на всей фигуре.
Для изучения пространственной симметрии нужны понятия симметрии на плоскости, середины отрезка, перпендикулярности прямой и плоскости, а также свойства многогранников. Дальше симметрия помогает анализировать сечения и объёмы тел, использовать координатный метод и строить изображения пространственных фигур. В алгебре похожие преобразования описываются изменением координат, а в физике зеркальные отражения и симметрия применяются при исследовании моделей и законов.
Может ли пространственная фигура иметь несколько центров симметрии?
У ограниченной фигуры, например у многогранника или шара, центр симметрии может быть только один. Если бы центров было два, последовательное выполнение двух центральных симметрий сдвинуло бы фигуру, что невозможно для ограниченной фигуры. У некоторых неограниченных фигур центров может быть несколько.
Чем ось симметрии пространственной фигуры отличается от оси симметрии плоской фигуры?
В пространстве ось задаёт поворот на 180° вокруг прямой, и фигура после него должна совпасть сама с собой. В плоской фигуре осевая симметрия обычно означает отражение относительно прямой. Пространственная ось — именно прямая, вокруг которой выполняют поворот.
Как быстро проверить, является ли плоскость плоскостью симметрии?
Представьте отражение фигуры относительно этой плоскости: каждая точка по одну сторону должна перейти в точку фигуры по другую сторону. Соединяющий их отрезок должен быть перпендикулярен плоскости и делиться ею пополам. Если хотя бы одна часть после отражения не совпадает с соответствующей частью фигуры, плоскость не является плоскостью симметрии.
Почему у прямоугольного параллелепипеда с разными рёбрами не любая диагональ является осью симметрии?
Ось симметрии должна сохранять всю фигуру при повороте на 180°, а не только проходить через её центр. Поворот вокруг произвольной диагонали меняет местами направления, которым соответствуют разные длины рёбер. Поэтому образ параллелепипеда обычно не совпадает с ним.
Какие виды симметрии имеет шар?
У шара есть центр симметрии — его центр, а любая прямая через центр служит осью симметрии. Любая плоскость, проходящая через центр, является плоскостью симметрии. Это следует из того, что шар задаётся расстоянием от центра, которое сохраняется при этих преобразованиях.
§ 35. Симметрия пространственных фигур
