§ 10. Симметрия пространственных фигур

Определения и обозначения

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой каждой точке фигуры соответствует точка фигуры, расположенная на таком же расстоянии по другую сторону от центра. Иначе говоря, центр делит пополам отрезок между любой парой соответствующих точек. Это определение позволяет точно проверить, обладает ли фигура центральной симметрией, даже если по внешнему виду ответ неочевиден.

Ось симметрии пространственной фигуры — прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой. Речь идёт именно о повороте в пространстве, а не о зеркальном отражении. Понятие нужно, чтобы описывать вращательную симметрию, например повороты правильного многогранника, которые сохраняют его форму и расположение.

Плоскость симметрии фигуры — плоскость, при отражении относительно которой фигура совмещается сама с собой. Точки по разные стороны плоскости при этом переходят друг в друга, а точки самой плоскости остаются на месте. Это определение помогает находить части фигуры, которые зеркально соответствуют друг другу, и обосновывать равенство её элементов.

Как это устроено

Симметрия — это не просто сходство двух частей на рисунке, а результат определённого преобразования. Такое преобразование сохраняет расстояния и углы, поэтому не растягивает и не деформирует фигуру. Если после него каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры, фигура совпадает сама с собой, хотя отдельные точки могут поменяться местами.

При центральной симметрии для точки A существует соответствующая точка A′ так, что центр O — середина отрезка AA′. Значит, точки O, A и A′ лежат на одной прямой, а расстояния OA и OA′ равны. Если A не совпадает с O, её образ находится на противоположном луче; неподвижной остаётся только точка-центр. Поэтому наличие точки внутри фигуры само по себе ещё не доказывает центральную симметрию: соответствие должно выполняться для всех точек.

Осевая симметрия пространственной фигуры задаётся поворотом вокруг прямой. Точки на этой прямой не перемещаются, потому что ось вращения остаётся неподвижной. Любая точка вне оси при повороте описывает окружность в плоскости, перпендикулярной оси, а центр этой окружности лежит на оси. Чтобы фигура обладала такой симметрией, достаточно не любого поворота: должен найтись угол, после которого все точки фигуры окажутся на месте фигуры.

При отражении относительно плоскости точка и её образ расположены на перпендикуляре к плоскости, по разные стороны от неё. Расстояния от них до плоскости равны, поэтому плоскость проходит через середину отрезка между соответствующими точками и перпендикулярна ему. Точки, лежащие в самой плоскости, отражаются в себя. Такое устройство объясняет, почему две части фигуры должны не просто иметь одинаковый объём, а точно совпадать при зеркальном отражении.

У многогранника преобразование можно проверять по его основным элементам. Сначала выясняют, куда переходят вершины: их образы должны быть вершинами того же многогранника. Затем проверяют рёбра и грани — они должны переходить в рёбра и грани фигуры, сохраняя их соединение и форму. Если хотя бы одна вершина или грань после преобразования не совпадает с элементом многогранника, заявленная симметрия отсутствует.

Симметрии пространственных фигур

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое преобразование рассматривается, а затем проверьте, какие точки должны оставаться неподвижными. После этого сравните расположение соответствующих точек с указанным свойством. Примеры показывают, что одна фигура может иметь разные виды симметрии, но наличие одного вида не означает наличия остальных.

Разбор задач

Задача 1. Плоскость симметрии куба

Укажите плоскость симметрии куба, проходящую через середины четырёх параллельных рёбер. Удобно представить куб с рёбрами, параллельными одной выбранной оси, и рассмотреть середины этих рёбер. Плоскость через четыре середины перпендикулярна выбранному направлению и проходит через центр куба. Проверим, что отражение относительно неё сохраняет многогранник.

1. Обозначим длину ребра через a, а выбранные рёбра расположим параллельно оси x. Их середины имеют одинаковую координату x = a/2, поэтому лежат в одной плоскости.
2. При отражении относительно этой плоскости координата x меняется на a − x, а остальные координаты остаются прежними. Поэтому вершина с x = 0 переходит в соответствующую вершину с x = a, и наоборот.
3. Такое отражение переводит рёбра в рёбра, а грани — в грани куба. Следовательно, куб совпадает сам с собой после отражения.

Ответ: плоскость, проходящая через середины выбранных четырёх параллельных рёбер; она перпендикулярна этим рёбрам и проходит через центр куба.

Задача 2. Плоскости симметрии прямоугольного параллелепипеда

Нужно найти число плоскостей симметрии прямоугольного параллелепипеда, у которого длины всех трёх типов рёбер различны. Пусть его размеры равны a, b и c, причём a ≠ b, b ≠ c и a ≠ c. Если провести через центр плоскость параллельно паре противоположных граней, отражение меняет местами противоположные части фигуры. Остаётся проверить, возможны ли другие направления плоскостей симметрии.

1. Проведём через центр три плоскости: каждую параллельно одной из трёх пар противоположных граней. Отражение относительно каждой такой плоскости меняет знак одной координаты, но сохраняет границы параллелепипеда.
2. Значит, все три плоскости переводят вершины, рёбра и грани в соответствующие элементы фигуры и являются плоскостями симметрии.
3. При попарно различных размерах нельзя переставить направления рёбер разной длины: соответствующие грани не совпали бы. Поэтому наклонная плоскость, смешивающая эти направления, не может быть плоскостью симметрии.

Ответ: три плоскости симметрии — через центр и параллельно каждой паре противоположных граней.

Задача 3. Симметрии правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет четыре равные грани и шесть равных рёбер, поэтому его вершины можно переставлять только так, чтобы сохранялись расстояния между ними. Проверим отдельно центр, оси поворота и плоскости отражения. Для оси удобно выбрать вершину и центр противоположной грани: поворот на 120° циклически переставляет три вершины этой грани. Для плоскостей рассмотрим одну вершину и середину противоположного ребра.

1. Центра симметрии у тетраэдра нет. Центральное отражение должно разбивать четыре вершины на две пары противоположных вершин, но в тетраэдре каждая пара вершин соединена ребром, и такое соответствие не сохраняет все расстояния.
2. Через каждую вершину проведём прямую к центру противоположной грани. Поворот вокруг неё на 120° или 240° оставляет вершину на месте и циклически переставляет три другие; получаем четыре оси.
3. Выберем пару противоположных рёбер. Плоскость, проходящая через их середины и содержащая середины этих рёбер, отражает концы каждого ребра друг в друга и сохраняет остальные вершины. Пар противоположных рёбер три, а для каждой пары получаются две плоскости такого типа, всего шесть.

Ответ: центра симметрии нет; есть четыре оси через вершину и центр противоположной грани, а также шесть плоскостей симметрии.

Типичные ошибки

Прямую иногда называют осью симметрии только потому, что она проходит через центр фигуры. Такое рассуждение не учитывает, что ось определяется поворотом, а не одним лишь расположением прямой. Проверьте, существует ли ненулевой угол поворота, после которого фигура целиком совпадёт с собой.

Плоскость, которая делит фигуру на две части, не обязательно является плоскостью симметрии. Части могут быть разными по форме или располагаться так, что отражение не совместит их. Проверьте соответствие точек по обе стороны плоскости и убедитесь, что отражённые вершины, рёбра и грани принадлежат исходной фигуре.

Осевая симметрия иногда смешивается с отражением относительно плоскости, потому что оба преобразования могут менять положение точек вокруг неподвижной части. Но при повороте неподвижна прямая, а при отражении — плоскость, и перемещения точек устроены по-разному. Для проверки назовите само преобразование и установите, что именно остаётся на месте.

Наличие удобной центральной точки ещё не означает, что фигура центрально-симметрична. Нужно, чтобы для каждой точки нашлась точка фигуры на той же прямой по другую сторону центра и на равном расстоянии от него. Проверьте это условие для всех вершин, а не только для одной пары или для середины фигуры.

Связь с другими темами

Для изучения пространственной симметрии нужны знакомые преобразования плоских фигур — отражение и поворот, а также свойства перпендикулярных прямых и плоскостей. В геометрии многогранников симметрии помогают находить равные грани, рёбра и углы, упрощать построение сечений и обосновывать равенство частей фигуры. Пространственные определения расширяют знакомые идеи: к отражению в плоскости добавляются центральное отражение и поворот вокруг прямой.

Что запомнить

• Симметрия фигуры означает, что после соответствующего преобразования она совпадает сама с собой.
• При центральной симметрии центр — середина отрезка между соответствующими точками.
• При повороте вокруг оси точки самой оси остаются на месте.
• Плоскость симметрии делит пополам и перпендикулярно отрезки между соответствующими точками.
• Наличие симметрии проверяют по всем элементам фигуры, а не только по её внешнему виду.