§ 11. Движение

Определения и обозначения

Движение пространства — взаимно однозначное отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иначе говоря, каждой точке соответствует ровно одна точка-образ, и ни одна точка не теряется. Это определение позволяет отличить движения от преобразований, которые меняют размеры фигур.

Образ точки при движении — точка, в которую переходит исходная точка. Если точка A переходит в A′, запись A → A′ помогает не спутать исходную точку с результатом преобразования. Такое обозначение нужно, чтобы ясно указывать, какие точки и фигуры сопоставляются.

Неподвижная точка движения — точка, которая при данном движении переходит сама в себя. Для такой точки образ совпадает с исходной точкой. Это понятие помогает описывать особенности конкретного преобразования и проверять, остаются ли некоторые точки на месте.

Обратное движение — движение, которое возвращает каждой точке её исходное положение. Если движение переводит A в A′, то обратное переводит A′ в A. Обратное преобразование нужно, когда требуется восстановить исходную фигуру по её образу.

Как это устроено

При движении расстояние между любой парой точек не меняется. Поэтому если концы отрезка переходят в новые точки, расстояние между этими образами равно длине исходного отрезка, то есть отрезки равны. Угол также сохраняется: его стороны и точки на них переходят в соответствующие элементы, а получившаяся фигура остаётся равной исходной. Так движение сохраняет форму и размеры, хотя может менять положение фигуры.

Разные точки не могут перейти в одну и ту же точку, потому что движение сохраняет расстояние между ними. У любых двух различных исходных точек это расстояние больше нуля, а у совпавших образов оно было бы равно нулю. Значит, такое совпадение нарушило бы основное свойство движения. Поэтому движение взаимно однозначно: каждой исходной точке соответствует единственный образ, и разные точки имеют разные образы.

Обратное к движению отображение тоже сохраняет расстояния. Пусть точки A и B перешли в A′ и B′; тогда A′B′ = AB. При обратном преобразовании A′ и B′ возвращаются в A и B, поэтому расстояние между восстановленными точками снова равно исходному расстоянию между A′ и B′. Обратное отображение также взаимно однозначно, а значит, удовлетворяет определению движения.

Если сначала выполнить одно движение, а затем другое, расстояния всё равно сохранятся. Первое преобразование оставляет расстояние между образами равным исходному, а второе не меняет расстояние между новыми образами. Следовательно, после двух преобразований расстояние между конечными образами равно расстоянию между исходными точками. Их последовательность задаёт движение пространства.

Параллельный перенос, поворот и симметрии являются движениями, потому что каждое из этих преобразований сохраняет расстояния. При переносе все точки смещаются одинаково, при повороте точки поворачиваются вокруг центра, а при симметрии располагаются соответствующим образом относительно оси или центра. Во всех случаях длины и форма фигуры остаются прежними. Поэтому образ фигуры равен исходной фигуре, даже если занимает другое место.

Что сохраняется при движении

Чтобы определить, что произойдёт с объектом, найдите свойство, которое его характеризует: например, длину отрезка или расстояние между точками. Затем примените правило сохранения расстояний. Таблица показывает, что движение меняет положение фигур, но не их основные метрические свойства.

Разбор задач

Находим длину образа отрезка

Движение переводит точку A в A′, а точку B в B′. Если AB = 7 см, требуется найти A′B′. Здесь не нужны дополнительные построения: достаточно узнать, какое свойство движения относится к расстоянию между двумя точками.

1. Отрезок AB имеет концы A и B, а его длина равна расстоянию между ними.
2. При движении эти точки переходят в A′ и B′, причём расстояние сохраняется: A′B′ = AB.
3. Подставляем данное значение: A′B′ = 7 см.

Ответ: 7 см. Если бы длина изменилась, движение перестало бы удовлетворять своему определению.

Доказываем равенство треугольников

Точки A, B и C переходят при движении в A′, B′ и C′ соответственно. Нужно доказать, что треугольники ABC и A′B′C′ равны. Сравним стороны, которые соединяют соответствующие пары вершин, и воспользуемся сохранением расстояний.

1. Для пары A и B получаем A′B′ = AB.
2. Для пары B и C получаем B′C′ = BC, а для пары C и A — C′A′ = CA.
3. Все три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: треугольники ABC и A′B′C′ равны. Такой способ работает потому, что движение сохраняет расстояния между каждой парой точек, а не только между концами одного выбранного отрезка.

Строим образ точки по расстояниям

Движение переводит A в A′ и B в B′. Известны расстояния AC и BC, требуется построить образ точки C. Обозначим его C′ и сначала выясним, какие расстояния до уже известных образов должны сохраниться.

1. Так как A переходит в A′, отрезки AC и A′C′ равны. Поэтому C′ должна находиться на окружности с центром A′ и радиусом AC.
2. Так как B переходит в B′, должно выполняться B′C′ = BC. Значит, C′ также лежит на окружности с центром B′ и радиусом BC.
3. Строим обе окружности. Их общая точка или точки удовлетворяют обоим условиям; выбираем ту, которая соответствует расположению образа в задаче.

Ответ: образ C строится как точка пересечения окружностей с центрами A′ и B′ и радиусами AC и BC. Если окружности пересекаются в двух точках, одних расстояний может быть недостаточно, чтобы выбрать единственный образ.

Типичные ошибки

• Считать движением любое преобразование пространства на себя. Такое преобразование может менять расстояния или склеивать разные точки, поэтому определению движения не соответствует. Проверяйте оба условия: взаимную однозначность и сохранение расстояний.

• Путать образ точки с самой точкой или менять обозначения без пояснения. Из-за этого можно сравнить не те отрезки и неверно записать равенство. Перед вычислениями явно укажите соответствия, например A → A′ и B → B′.

• Делать вывод, что движение сохраняет положение фигуры. Положение может измениться: фигура переносится, поворачивается или отражается, хотя её форма и размеры остаются прежними. Проверьте себя вопросом: изменилось ли расстояние между соответствующими точками, а не координаты их положения?

• Утверждать, что у любого движения есть неподвижные точки. Это неверно: при параллельном переносе на ненулевой вектор каждая точка смещается. Чтобы проверить наличие неподвижных точек, выясните, остаётся ли хотя бы одна точка на прежнем месте именно при данном движении.

Связь с другими темами

Для изучения движений нужны понятия расстояния, отрезка, угла и равенства геометрических фигур. С их помощью можно сформулировать, какие свойства преобразование обязано сохранять. Движения связывают равенство фигур с преобразованиями пространства: вместо сравнения положения фигур можно рассмотреть, переходит ли одна фигура в другую. Это помогает доказывать геометрические утверждения и подготавливает к изучению параллельного переноса, поворота и различных видов симметрии.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• Разные точки при движении переходят в разные точки.
• Обратное к движению отображение тоже является движением.
• Последовательное выполнение движений снова является движением.
• При движении фигура переходит в равную ей фигуру.
• Неподвижные точки есть не у каждого движения.