§ 9. Движение

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — это соответствие, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие определённая точка той же плоскости. Например, точке A может соответствовать точка A′. Это понятие позволяет описывать, как меняется положение точек и фигур, не ограничиваясь одним чертежом.

Точку, в которую переходит данная точка при преобразовании, называют её образом. Исходную точку и её образ принято обозначать одной буквой, а у образа ставить штрих: A и A′. Такое обозначение помогает не перепутать точку до преобразования с точкой после него.

Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Если A переходит в A′, а B — в B′, то AB = A′B′. Именно это условие отличает движение от произвольного преобразования: меняя положение точек, оно не растягивает и не сжимает фигуры.

Равными называют фигуры, которые можно совместить движением. При таком совмещении каждой точке первой фигуры соответствует точка второй, и соответствующие точки переходят друг в друга. Это определение нужно, чтобы устанавливать равенство фигур не только по виду, но и по точному геометрическому свойству.

Как это устроено

Главное условие движения — сохранение расстояния для всех пар точек. Если это условие выполнено, длина между любыми двумя образами совпадает с длиной между исходными точками. Проверить лишь одну пару недостаточно: преобразование может сохранить отдельное расстояние, но изменить остальные. Поэтому для движения требуется универсальное правило, а не случайное совпадение.

Рассмотрим отрезок AB. При преобразовании его концы переходят в A′ и B′, а точки самого отрезка переходят в соответствующие точки. Так как расстояние между концами не меняется, A′B′ = AB; значит, образ отрезка — равный ему отрезок. Длина отрезка определяется расстоянием между его концами, поэтому этот вывод непосредственно следует из определения движения.

Прямая состоит из точек, расположенных в одном направлении, причём для трёх точек на ней одна из них может лежать между двумя другими. Такое расположение выражается равенством: расстояние между крайними точками равно сумме двух остальных расстояний. Движение сохраняет каждое из этих расстояний, поэтому образы трёх точек тоже лежат на одной прямой и сохраняют порядок. Значит, точки прямой переходят в точки прямой; при движении плоскости образом прямой является прямая.

Возьмём треугольник ABC. Поскольку расстояния сохраняются, его стороны переходят в отрезки той же длины: AB = A′B′, BC = B′C′ и AC = A′C′. По трём равным соответствующим сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны. У равных треугольников соответствующие углы равны, поэтому движение сохраняет и величины углов.

Если все расстояния между точками фигуры остаются прежними, сохраняются длины её отрезков и взаимные размеры частей. Поэтому движение может перенести или повернуть фигуру, но не сделать её шире, уже или изменить углы. Так связь расстояний с равенством фигур становится понятной: движение меняет положение фигуры, а не её форму и размеры.

Что сохраняется при движении

Таблица показывает, что сохранение расстояний — исходное свойство движения, а остальные результаты следуют из него. При решении задачи сначала определите, какое свойство нужно использовать, затем свяжите его с расстояниями между точками.

Разбор задач

Задача 1. Точки A и B при движении переходят в точки A′ и B′. Если AB = 5 см, найдите A′B′. Нужно понять, как преобразование влияет на расстояние именно между этой парой точек. По определению движения оно не меняется.

1. Запишем данное: AB = 5 см.
2. Так как преобразование является движением, расстояние между образами равно исходному: A′B′ = AB.
3. Подставим значение: A′B′ = 5 см.

Ответ: 5 см. Здесь не требуется измерять отрезок на рисунке: достаточно применить сохранение расстояния.

Задача 2. При движении отрезок AB переходит в отрезок A′B′. Докажите, что эти отрезки равны. Чтобы доказать равенство отрезков, достаточно установить равенство их длин. Длины определяются расстояниями между концами.

1. Образы концов A и B — точки A′ и B′.
2. Движение сохраняет расстояние между двумя точками, значит, AB = A′B′.
3. Следовательно, отрезки AB и A′B′ имеют равные длины и являются равными.

Ответ: AB = A′B′, поэтому отрезки равны. В доказательстве важно проследить, куда перешёл каждый конец исходного отрезка.

Задача 3. Треугольник ABC при движении переходит в треугольник A′B′C′. Докажите равенство соответствующих углов. Само движение сохраняет расстояния, а значит, сначала можно сравнить стороны треугольников. После этого применим известный признак равенства треугольников.

1. По сохранению расстояний AB = A′B′, BC = B′C′ и AC = A′C′.
2. По трём сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны.
3. У равных треугольников соответствующие углы равны: ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′.

Ответ: все три пары соответствующих углов равны. Мы не предполагали сохранение углов отдельно, а получили его из равенства сторон и признака равенства треугольников.

Типичные ошибки

Ошибка — считать движением любое перемещение или изменение фигуры на рисунке. Так думают, потому что слово «движение» в быту означает просто перемену места, но геометрическое определение строже. Нужно проверить расстояния между любыми двумя точками фигуры, а не только заметить, что она сдвинулась.

Иногда образ точки путают с исходной точкой и записывают одно и то же обозначение для обеих. Это случается, когда штрих кажется несущественной мелочью, хотя он показывает, к какому состоянию относится точка. При проверке выпишите соответствия отдельно: A → A′, B → B′, а затем используйте именно образы.

Неверно думать, что при движении каждая точка обязана остаться на месте. Такое представление возникает из-за бытового смысла слова, однако движение в геометрии может менять положение всех точек фигуры. Проверьте себя вопросом: сохраняются ли расстояния между точками? Если да, перемещение не мешает преобразованию быть движением.

Внешнее сходство двух фигур ещё не доказывает их равенство. На рисунке фигуры могут выглядеть одинаково, хотя одна из них имеет другие размеры или пропорции. Чтобы обосновать равенство, покажите, что фигуры можно совместить движением и соответствующие точки переходят друг в друга.

Связь с другими темами

Для изучения движения понадобятся понятия точки, прямой, отрезка, расстояния и угла. Также важно уметь пользоваться признаками равенства треугольников: именно они позволяют перейти от сохранения длин сторон к равенству углов. Если эти понятия знакомы, доказательства свойств движения можно строить последовательно, опираясь на уже известные факты.

Движение пригодится при изучении симметрии относительно прямой и точки, поворота и параллельного переноса. Во всех этих преобразованиях фигура меняет положение или ориентацию, сохраняя расстояния. Поэтому понятие движения объединяет разные способы перемещения фигур и помогает объяснить, почему исходная и полученная фигуры равны.

Что запомнить

• Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
• Образ каждой точки при преобразовании — точка плоскости.
• При движении длина отрезка не меняется.
• При движении прямая переходит в прямую.
• Движение сохраняет величины углов.
• Фигуры, совмещаемые движением, равны.