81. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°

Определения и обозначения

Синус угла α — ордината, то есть вторая координата y точки единичной полуокружности, соответствующей углу; обозначение — sin α. Единичной называют полуокружность радиуса 1. Синус показывает, насколько высоко расположена точка относительно оси абсцисс.

Косинус угла α — абсцисса, то есть первая координата x той же точки; обозначение — cos α. Он показывает положение точки по горизонтали. Вместе синус и косинус позволяют описать точку полуокружности координатами.

Тангенс угла α — отношение ординаты к абсциссе: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Иначе говоря, тангенс получают делением синуса на косинус. Это отношение можно вычислить только тогда, когда знаменатель не равен нулю.

Котангенс угла α — отношение абсциссы к ординате: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Здесь координаты делят в обратном порядке по сравнению с тангенсом. Условие на синус указывает, что деление на ноль не допускается.

Как это устроено

Чтобы каждому углу от 0° до 180° сопоставить точку, берут полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Один радиус направлен вправо вдоль положительной полуоси абсцисс, а второй поворачивают против часовой стрелки на угол α. Конец повернутого радиуса и есть нужная точка. Так углам разных величин соответствуют разные положения на полуокружности.

Связь координат с привычными отношениями сторон видна для острого угла. Если опустить из точки перпендикуляр на ось абсцисс, получится прямоугольный треугольник, а радиус длины 1 станет его гипотенузой. По определениям синуса и косинуса острого угла отношение противолежащего катета к гипотенузе равно ординате, а прилежащего катета к гипотенузе — абсциссе. Поэтому координатные определения продолжают знакомые определения для острых углов.

Тангенс определён как отношение ординаты к абсциссе, а sin α и cos α как раз обозначают эти координаты. Значит, вместо координат можно записать tg α = sin α / cos α. Для котангенса координаты делятся наоборот, поэтому ctg α = cos α / sin α. Эти формулы удобны, когда синус и косинус уже известны.

При 90° повернутый радиус направлен вверх, а точка имеет координаты (0; 1). Её абсцисса, то есть cos 90°, равна нулю, поэтому в формуле тангенса знаменатель обращается в ноль. При 0° и 180° точка лежит на оси абсцисс и её ордината равна нулю. Следовательно, котангенс в этих случаях не определён.

Для углов от 0° до 90° точка расположена справа и выше начала координат: обе координаты положительны. От 90° до 180° она находится слева и выше, поэтому ордината остаётся положительной, а абсцисса становится отрицательной. Отсюда следует, что после 90° синус положителен, косинус отрицателен, а отношения синуса и косинуса и косинуса и синуса отрицательны.

Значения и области определения тригонометрических функций

Сначала найдите строку с нужным углом или промежутком, а затем прочитайте столбец нужной функции. В строках со знаками указано только, положительна или отрицательна величина, а не её точное значение. Для углов 0°, 90° и 180° приведены отдельные значения и случаи, когда функция не определена.

Разбор задач

Задача 1. По определению найдите sin 90°, cos 90°, tg 90° и ctg 90°.

Угол 90° направляет радиус вертикально вверх. Сначала установим координаты конца этого радиуса, затем подставим их в определения функций. Это также покажет, какие отношения можно вычислить.

1. Радиус единичной полуокружности равен 1, поэтому точка при 90° имеет координаты (0; 1). Её ордината равна 1, а абсцисса — 0.
2. По определениям sin 90° = 1 и cos 90° = 0. Для тангенса знаменатель cos 90° равен нулю, поэтому tg 90° не определён.
3. Для котангенса получаем ctg 90° = cos 90° / sin 90° = 0 / 1 = 0. Здесь знаменатель не равен нулю.

Ответ: sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° не определён, ctg 90° = 0.

Задача 2. Определите знаки sin 120°, cos 120°, tg 120° и ctg 120°.

Точный размер координат искать не требуется: нужно определить только их знаки. Угол 120° больше 90° и меньше 180°, значит, точка находится во второй четверти — слева от вертикальной оси и выше оси абсцисс. Теперь используем координатные определения.

1. Выше оси абсцисс ордината положительна, поэтому sin 120° > 0. Слева от оси ординат абсцисса отрицательна, поэтому cos 120° < 0.
2. Тангенс равен отношению положительного синуса к отрицательному косинусу. Следовательно, tg 120° < 0.
3. Котангенс равен отношению отрицательного косинуса к положительному синусу. Поэтому ctg 120° < 0; знаменатель при этом не равен нулю.

Ответ: sin 120° положителен, cos 120° отрицателен, tg 120° отрицателен, ctg 120° отрицателен.

Задача 3. Точка единичной полуокружности, соответствующая углу α, имеет координаты (−1/2; √3/2). Найдите sin α, cos α, tg α и ctg α.

В координатах точки первое число — абсцисса, второе — ордината. Поэтому синус и косинус можно записать сразу. Для двух остальных величин нужно составить отношения и проверить, что знаменатели не нулевые.

1. Ордината равна √3/2, а абсцисса равна −1/2. Значит, sin α = √3/2 и cos α = −1/2.
2. Тангенс равен отношению ординаты к абсциссе: tg α = (√3/2) / (−1/2) = −√3. Знаменатель не равен нулю.
3. Котангенс равен отношению абсциссы к ординате: ctg α = (−1/2) / (√3/2) = −1/√3 = −√3/3. Ордината также не равна нулю.

Ответ: sin α = √3/2, cos α = −1/2, tg α = −√3, ctg α = −√3/3.

Типичные ошибки

Путать синус и косинус. Иногда синусу приписывают абсциссу, а косинусу — ординату, потому что названия легко перепутать. Проверьте себя: sin α — это y, а cos α — x. Можно записать координаты как (cos α; sin α), чтобы не менять порядок.

Считать определёнными tg 90° или ctg 0°. В этих случаях формально подставляют значения в дробь, но забывают проверить знаменатель. У тангенса знаменатель — cos α, который равен нулю при 90°, а у котангенса — sin α, равный нулю при 0° и 180°. Перед делением обязательно проверяйте знаменатель.

Считать все величины положительными на всём промежутке. Так ошибаются, если помнят только знаки функций для острых углов. При угле больше 90° точка находится слева от оси ординат, и абсцисса становится отрицательной. Значит, косинус, тангенс и котангенс отрицательны; это можно проверить по координатам точки.

Менять местами формулы тангенса и котангенса. В дробях легко перепутать, какая координата стоит сверху, а какая снизу. В тангенсе делят синус на косинус, в котангенсе — косинус на синус. Для самопроверки подставьте обозначения y и x: tg α = y / x, ctg α = x / y.

Связь с другими темами

Для работы с определениями понадобятся координаты точки на плоскости, единичная окружность и знакомые отношения сторон прямоугольного треугольника. Они помогают перейти от синуса и косинуса острого угла к координатам любой точки полуокружности. Новые определения пригодятся при изучении тригонометрических тождеств и в задачах на углы, в том числе тупые. Благодаря координатам такие углы можно рассматривать тем же способом, что и острые.

Что запомнить

• На единичной полуокружности sin α — ордината точки, а cos α — абсцисса.
• tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0.
• ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0.
• При 0° ≤ α ≤ 180° синус неотрицателен.
• При 0° < α < 90° все четыре величины положительны.
• При 90° < α < 180° косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
• tg 90°, ctg 0° и ctg 180° не определены.