"Геометрия", Погорелов А.В.
Прямая может пересечь окружность в двух точках, коснуться её в одной или пройти мимо. Чтобы определить, какой случай получится, сравнивают радиус окружности с расстоянием от её центра до прямой. Это расстояние измеряют по перпендикуляру. Сравнение помогает распознать секущую и касательную, а ещё — находить длины хорд, которые прямая отсекает от окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общие точки прямой и окружности — это точки, которые одновременно лежат и на прямой, и на окружности. Таких точек может быть две, одна или ни одной. По их числу удобно определять, как расположена прямая относительно окружности.
Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Эти общие точки называют точками пересечения; отрезок между ними является хордой окружности. Понятие секущей нужно, чтобы отличать прямую, проходящую через окружность, от прямой, которая только касается её.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Такое определение позволяет отличить касательную от секущей: у секущей две общие точки, а у касательной только одна.
Расстояние от центра окружности до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту прямую. Перпендикуляр — отрезок, образующий с прямой прямой угол. Обозначим расстояние буквой d, а радиус окружности — буквой R: сравнение d и R помогает сразу выяснить число общих точек.
Чтобы найти расстояние от центра до прямой, из центра опускают на неё перпендикуляр. Среди всех отрезков, соединяющих эту точку с точками прямой, перпендикуляр имеет наименьшую длину. Это следует из свойства прямоугольного треугольника: наклонный отрезок является гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому измерять расстояние до произвольной точки прямой нельзя — такой отрезок может оказаться длиннее нужного.
Пусть расстояние от центра до прямой меньше радиуса: d < R. Перпендикуляр заканчивается на прямой ближе к центру, чем точки окружности, лежащие на расстоянии R. Значит, прямая проходит через внутреннюю часть круга, ограниченного окружностью, и выходит из неё по обе стороны. На границе круга она встречает окружность дважды, поэтому является секущей.
Если d = R, основание перпендикуляра находится на окружности: расстояние от центра до этой точки равно радиусу. Прямая при этом касается окружности только там, а не проходит через её внутреннюю часть. Отрезок от центра к точке касания — радиус, и он совпадает с перпендикуляром к прямой. Следовательно, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
При d > R даже ближайшая к центру точка прямой находится дальше, чем точки окружности. Все остальные точки прямой ещё дальше, поэтому ни одна из них не может лежать на окружности: общих точек нет. Так объясняется, почему именно большее расстояние соответствует прямой, проходящей снаружи окружности.
Есть и обратный признак касательной. Пусть прямая перпендикулярна радиусу в его конце, лежащем на окружности. Перпендикуляр от центра до прямой тогда равен этому радиусу, то есть d = R. По разобранному случаю такая прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку и потому является касательной. Признак помогает распознать касательную, когда известно, что радиус и прямая образуют прямой угол.
| Сравнение расстояния d от центра до прямой с радиусом R | Число общих точек | Положение прямой | Дополнительное свойство |
|---|---|---|---|
| d < R | Две | Секущая | Прямая проходит через внутреннюю часть круга |
| d = R | Одна | Касательная | Радиус к точке касания перпендикулярен прямой |
| d > R | Ни одной | Прямая вне окружности | Ближайшая к центру точка прямой дальше радиуса |
Сначала определите радиус и расстояние от центра до прямой, а затем сравните их. Строка с подходящим сравнением сразу показывает число общих точек и положение прямой. Если получилась касательная, дополнительное свойство подсказывает, какой угол образуют радиус и прямая.
Радиус окружности равен 5 см, расстояние от центра до прямой — 3 см. Определите число общих точек. Чтобы выбрать нужный случай, сравним расстояние с радиусом, а не будем ориентироваться только на то, что прямая проходит близко к центру.
Ответ: две общие точки.
Радиус окружности равен 8 см, расстояние от центра до прямой также равно 8 см. Определите положение прямой и укажите свойство радиуса, проведённого к общей точке. Равенство расстояния радиусу означает, что прямая не проходит через внутреннюю часть окружности, но касается её.
Ответ: прямая — касательная; радиус к точке касания перпендикулярен ей.
В окружности радиуса 13 см расстояние от центра до секущей равно 5 см. Найдите длину хорды, которую прямая отсекает от окружности. Перпендикуляр от центра к хорде делит её пополам, поэтому сначала найдём половину хорды. Она, перпендикуляр и радиус образуют прямоугольный треугольник, в котором радиус — гипотенуза.
Ответ: 24 см.
Иногда любую прямую, у которой есть общая точка с окружностью, называют касательной. Это неверно: две общие точки означают, что прямая является секущей. Ошибку легко допустить, если не пересчитать точки пересечения; проверьте, одна их или две.
Расстоянием от центра до прямой ошибочно считают длину отрезка до любой выбранной на прямой точки. Такой отрезок может быть наклонным и потому длиннее перпендикуляра. Чтобы проверить себя, убедитесь, что отрезок образует с прямой угол: только его длина является расстоянием.
Можно перепутать случаи d < R и d > R, решив, что чем дальше прямая от центра, тем больше точек пересечения. На самом деле при меньшем расстоянии прямая проходит через окружность, а при большем остаётся снаружи. Сверьте знак сравнения: меньше радиуса — две точки, больше — ни одной.
Ещё одна ошибка — считать радиус перпендикулярным любой прямой, проходящей через точку окружности. Перпендикулярность относится к касательной в этой точке, а не ко всем возможным прямым. Проверьте, что прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку и перпендикулярна радиусу; тогда это касательная.
Для понимания темы нужны понятия окружности и радиуса, а также умение распознавать перпендикуляр и прямой угол. Без них нельзя определить расстояние от центра до прямой и сравнить его с радиусом. При решении задач на хорды пригодится теорема Пифагора.
Полученные свойства применяются в задачах о касательных и хордах: по расстоянию можно определить положение прямой, а по радиусу и расстоянию — найти хорду. Тема также нужна при построении касательной к окружности: в точке касания она должна быть перпендикулярна радиусу.
Как определить, пересечёт ли прямая окружность?
Найдите расстояние d от центра окружности до прямой и сравните его с радиусом R. Если d < R, будет две общие точки; если d = R — одна; если d > R — общих точек нет.
Почему расстояние от центра до прямой измеряют по перпендикуляру?
Перпендикуляр от точки до прямой короче любого наклонного отрезка, проведённого к этой прямой. Поэтому длина перпендикуляра и считается расстоянием от центра до прямой.
Когда прямая называется касательной?
Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
Обязательно ли радиус перпендикулярен касательной?
Да, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это свойство относится именно к радиусу и касательной в их общей точке.
Как найти длину хорды, если известны радиус и расстояние от центра до прямой?
Если прямая пересекает окружность, она отсекает хорду. Перпендикуляр от центра к хорде делит её пополам, поэтому половину хорды находят по теореме Пифагора: она равна √(R² − d²). Длину хорды получают, умножив результат на 2.
80. Пересечение прямой с окружностью
