79. График линейной функции

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — заданные числа, а x — независимая переменная. Например, в формуле y = 2x + 1 числа k = 2 и b = 1. Такая запись нужна, чтобы по любому выбранному x вычислить соответствующее значение y.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданной зависимости между x и y. Для линейной функции точками графика будут, например, пары (0; b) и (1; k + b). Это определение помогает проверять, принадлежит ли точка графику: её координаты должны подходить к формуле.

Коэффициент k — число, определяющее наклон графика линейной функции: при увеличении x на 1 значение y изменяется на k. Если k = 3, то при таком увеличении x значение y возрастает на 3; если k = −3, оно уменьшается на 3. По этому коэффициенту можно понять направление прямой и сравнить наклоны графиков.

Коэффициент b — значение функции при x = 0; график пересекает ось y в точке (0; b). При подстановке нуля слагаемое kx обращается в ноль, и остаётся y = b. Поэтому b удобно использовать, чтобы сразу отметить на координатной плоскости одну точку графика.

Как это устроено

Чтобы построить график y = kx + b, выбирают несколько значений x и находят соответствующие y по формуле. Каждой паре чисел соответствует точка (x; y), которую отмечают на координатной плоскости. Так график возникает из точек, для которых равенство выполняется. Подставлять можно разные числа, но для начала удобнее брать те, с которыми вычисления просты.

График линейной функции — прямая, поэтому для построения достаточно двух её различных точек. Через любые две различные точки проходит единственная прямая, и именно она будет содержать все точки линейной зависимости. Обычно находят ещё одну точку для проверки вычислений, но для самого построения двух верных точек хватает. Если точки совпали, нужно выбрать другое значение x.

Коэффициенты b и k отвечают за разные свойства прямой. При x = 0 остаётся y = b, поэтому b задаёт точку пересечения с осью y. Коэффициент k показывает изменение y при каждом шаге x на единицу, а значит, определяет наклон. Отделяя эти роли, легче не перепутать, какой коэффициент нужно изменить для нужного результата.

Знак k задаёт направление прямой при движении по оси x слева направо. Если k положителен, каждому увеличению x соответствует увеличение y, поэтому прямая поднимается. Если k отрицателен, y уменьшается, и прямая опускается. При k = 0 значение y не зависит от x: формула становится y = b, а график — горизонтальной прямой.

Если изменить b, сохранив k, точка пересечения с осью y переместится, но изменение y при шаге x на единицу останется прежним. Поэтому прямая сдвинется вверх или вниз, сохранив наклон. Когда b = 0, при x = 0 получается y = 0, и прямая проходит через начало координат. Две прямые с одинаковым k и разными b не пересекаются: при каждом x их значения y отличаются на одну и ту же величину.

Как коэффициенты определяют график y = kx + b

Сначала найди в формуле значения k и b, затем выбери подходящую строку таблицы. Она поможет предсказать направление прямой и её положение относительно оси y ещё до построения. Если одновременно выполняются несколько условий, например k > 0 и b = 0, используй обе строки.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x + 1

Для прямой нужны две различные точки. Удобно начать с x = 0: так сразу получится точка пересечения с осью y. Затем возьмём x = 1, чтобы вычисления были простыми, и по формуле найдём вторую координату каждой точки.

1. При x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1. Первая точка — (0; 1).
2. При x = 1: y = 2 · 1 + 1 = 3. Вторая точка — (1; 3).
3. Отметь обе точки на координатной плоскости и проведи через них прямую, продолжая её в обе стороны.

Проверка показывает, что точки различны и обе удовлетворяют формуле. Поэтому прямая через них и есть график функции. Ответ: график y = 2x + 1 проходит через точки (0; 1) и (1; 3).

Найти точку пересечения графика y = −x + 3 с осью y

На оси y находятся точки с координатой x = 0. Значит, искать нужно значение функции именно при нуле, а не подбирать точку по рисунку. Подстановка сразу покажет обе координаты пересечения.

1. Запиши x = 0, потому что точка лежит на оси y.
2. Подставь число в формулу: y = −0 + 3 = 3.
3. Объедини координаты x и y в запись точки: (0; 3).

Знак минус перед x не меняет результат при x = 0: произведение −0 равно нулю. Ответ: график пересекает ось y в точке (0; 3). Это также можно увидеть по коэффициенту b = 3.

Построить графики y = 2x + 1 и y = 2x − 2 и объяснить их взаимное расположение

Чтобы сравнить наклоны, сначала сопоставим коэффициенты при x. В обеих формулах k = 2, значит, при увеличении x на единицу значения y увеличиваются одинаково. Свободные члены различаются, поэтому точки пересечения с осью y будут разными.

1. Для y = 2x + 1 возьми x = 0 и x = 1: получатся точки (0; 1) и (1; 3).
2. Для y = 2x − 2 возьми те же x: получатся точки (0; −2) и (1; 0).
3. Отметь точки каждой функции и проведи через каждую пару свою прямую.
4. Сравни прямые: одинаковый k задаёт одинаковый наклон, а разные b — разные положения.

Прямые параллельны: они не пересекутся, потому что при любом x разность значений функций равна 3. Ответ: графики имеют одинаковый наклон и параллельны; первая прямая пересекает ось y выше второй.

Типичные ошибки

Иногда считают, что для прямой достаточно одной точки. Но через одну точку можно провести бесконечно много прямых, и лишь одна из них может соответствовать заданной функции. Для проверки найди две различные точки, подставив разные x. Если получилась одна и та же точка, выбери другое значение переменной.

При подстановке выбранного x легко ошибиться со знаком или порядком действий. Например, в выражении −x при x = −2 результат равен 2, а не −2. Такие ошибки приводят к точкам, которые не лежат на графике. Подставь найденные координаты обратно в формулу и проверь, получается ли равенство.

Коэффициенты k и b иногда путают: b связывают с наклоном, а k — с пересечением оси y. Это происходит потому, что оба числа стоят в одной формуле, но выполняют разные роли. Проверь себя так: подставь x = 0 — останется b, а сравни значения y при x и x + 1 — их разность будет k.

Найденные точки иногда соединяют отрезком или ломаной. Однако значения x не ограничены только выбранными числами, поэтому график продолжается за пределами отмеченных точек. Проверь, что линия проходит через обе точки и продолжается в обе стороны. У линейной функции графиком является вся прямая.

Связь с другими темами

Для построения графика нужны навыки работы с координатной плоскостью: следует правильно читать оси и отмечать точки по координатам. Также нужно уметь подставлять числа в выражения, соблюдая знаки и порядок действий. Эти умения позволяют перейти от формулы к точкам и проверить полученный результат.

Графики линейных функций понадобятся при изучении систем уравнений. Каждое уравнение системы можно представить графиком, а их общая точка, если она есть, удовлетворяет обоим уравнениям. Поэтому координаты точки пересечения графиков могут быть решением системы.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно двух её различных точек.
• При x = 0 значение функции равно b.
• Коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1.
• Если коэффициенты k у двух прямых равны, а b различны, прямые параллельны.