82. Преобразование фигур

Определения и обозначения

Преобразование плоскости — соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости. Иными словами, для любой точки должно быть определено, куда она переходит. Это понятие позволяет задавать общее правило изменения геометрических объектов, а не описывать отдельные точки по одной.

Образ точки — точка, которая соответствует данной точке при преобразовании. Если точка A переходит в точку A′, записывают A → A′; штрих у A′ помогает отличить полученный образ от исходной точки. Такое обозначение показывает направление перехода и помогает не перепутать исходную точку с результатом.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Значит, в образ входят не только результаты преобразования вершин, но и результаты преобразования остальных точек. Это определение нужно, чтобы правильно описывать фигуру целиком, а не только её отдельные элементы.

Прообраз точки — точка, которая при преобразовании переходит в данную точку. Например, если A → A′, то A — прообраз A′. Прообраз определяется однозначно, если в A′ переходит только одна точка; если несколько точек имеют один образ, однозначно восстановить исходную точку нельзя.

Как это устроено

Чтобы задать преобразование плоскости, нужно установить правило перехода для каждой точки, а не только сообщить несколько отдельных соответствий. Например, правило может описывать, куда переходят точки A, B и C, но этого мало для всей плоскости, если для остальных точек ничего не задано. Причина в том, что преобразованием называется именно соответствие точек плоскости целиком. Когда правило известно, можно применить его к любой выбранной точке и обозначить результат штрихом: A → A′, B → B′.

Образ фигуры находят, преобразуя каждую её точку. Для треугольника ABC прежде всего определяют образы вершин A′, B′ и C′, а затем соединяют их в том же порядке, получая треугольник A′B′C′. Однако это построение описывает образ сторон только при условии, что правило переводит каждую точку стороны в соответствующую точку образа стороны. Поэтому образ фигуры нельзя определить по одной вершине: остальные точки тоже участвуют в преобразовании.

Точки исходной фигуры могут переходить как в точки, расположенные внутри неё, так и за её пределы. Это зависит от правила преобразования: оно задаёт положение образа каждой точки, но не обязано сохранять границы или форму исходной фигуры. Поэтому полученная фигура может располагаться иначе и даже отличаться по форме. Чтобы сделать вывод о результате, нужно проследить действие правила, а не считать заранее, что фигура останется на прежнем месте.

Если разные точки переходят в одну и ту же точку, по образу нельзя однозначно определить, какая из исходных точек ему соответствовала. Например, если A → C и B → C, то прообразом C могут быть и A, и B. Сам образ точки при этом существует: правило всё равно указывает результат для каждой исходной точки. Неоднозначным становится обратный поиск — восстановление исходной точки по её образу.

Преобразование удобно представлять как единое правило, применяемое к точкам. Сначала по нему находят образы выбранных точек, затем определяют образ фигуры и сравнивают её положение с исходным. Такой порядок помогает не пропустить элементы и увидеть, какие изменения вызваны самим правилом. Проверять результат можно, ещё раз применив правило к каждой исходной точке и сверив полученные соответствия.

Преобразование точки и фигуры

В таблице сначала найдите, какой объект дан, а затем посмотрите, какой результат нужно получить. Последний ряд помогает проверить, можно ли однозначно восстановить исходную точку. Если в одной точке сходятся образы нескольких исходных точек, прообраз неоднозначен.

Разбор задач

1. Образ точки по заданному правилу

Условие. Дано правило преобразования: каждой точке A соответствует точка A′. Указать образ точки B по тому же правилу. Само правило может быть задано рисунком, описанием или формулой; одного примера A → A′ обычно недостаточно, чтобы узнать, куда переходит B. Поэтому сначала нужно найти именно правило, а не пытаться вывести результат только из названия точки.

1. Найдём в условии правило, по которому исходная точка переходит в образ. Для точки B применяем это же правило, не меняя его.
2. Обозначим результат преобразования точки B через B′. Если правило, например, задаёт конкретное соответствие B → D, то образом B будет D; буква со штрихом — лишь удобное обозначение, а не обязательное название результата.
3. Проверим направление записи: исходной является B, а полученной — точка, в которую она переходит. Нельзя переставлять их местами, если требуется именно образ.

Ответ. Образ точки B — точка, в которую B переходит по заданному правилу; его можно обозначить B′. Чтобы назвать или построить эту точку конкретно, в условии должно быть указано само правило.

2. Образ треугольника

Условие. По правилу преобразования нужно построить образ треугольника ABC, если известны образы его вершин. Пусть ими являются A′, B′ и C′. Требуется получить образ всей фигуры, а не только перечислить три новые точки.

1. Запишем соответствия вершин: A → A′, B → B′, C → C′. Это позволяет сохранить, какая точка образа соответствует каждой вершине исходного треугольника.
2. Построим точки A′, B′ и C′ и соединим их в порядке A′B′, B′C′, C′A′. Такой порядок повторяет связи вершин исходного треугольника и задаёт его предполагаемые образующие стороны.
3. Проверим по правилу, что точки сторон и внутренней области переходят в точки полученной фигуры. Это нужно потому, что образ фигуры включает образы всех её точек, а не только вершин.

Ответ. Образ вершин задаётся точками A′, B′ и C′, а образ треугольника строят, соединяя их в соответствующем порядке. Чтобы утверждать, что полученная граница полностью описывает образ, нужно учитывать действие правила на остальные точки треугольника.

3. Проверка прообраза и восстановление

Условие. Для заданного преобразования требуется определить образы нескольких точек фигуры и выяснить, можно ли по результату однозначно восстановить исходную фигуру. Пусть среди найденных соответствий есть X → P и Y → P, где X и Y — разные точки. Этот случай показывает, что необходимо проверять не только новые точки, но и то, совпадают ли результаты преобразования.

1. Применим правило к каждой из рассматриваемых точек и запишем все соответствия. Так мы не пропустим точки, которые могут иметь один образ.
2. Сравним полученные образы. Если разные точки переходят в одну, например X → P и Y → P, то у P как минимум два прообраза.
3. Сделаем вывод о восстановлении: по одной точке P нельзя решить, была ли исходной X или Y. Для однозначного восстановления всего объекта данных недостаточно, если правило допускает такие совпадения и дополнительная информация не дана.

Ответ. Образы находят по правилу для всех выбранных точек. Если разные исходные точки имеют один образ, однозначно восстановить соответствующую исходную точку по нему нельзя; следовательно, такой способ не гарантирует однозначного восстановления фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что преобразование задаёт переход только выбранных точек. Так думают, когда видят в условии несколько примеров соответствия и принимают их за всё правило. Но преобразование плоскости должно определять образ каждой точки, иначе его действие на остальных точках неизвестно. Проверьте себя: можете ли вы по условию установить результат для любой точки плоскости?

Ошибка: находить образ фигуры только по одной вершине. Одна вершина показывает лишь соответствие одной точки и ничего не говорит о результате для остальных точек фигуры. Ошибка возникает, когда построение многоугольника сводят к переносу одной его вершины. Проверьте все вершины и учитывайте, что по определению преобразуются также точки сторон и внутренней области.

Ошибка: путать образ точки с её прообразом. Образ получают, двигаясь от исходной точки по правилу, а прообраз ищут в обратном направлении — среди точек, переходящих в заданную. Путаница появляется из-за похожих названий, хотя направления поиска различны. Проверьте запись: в A → A′ точка A — исходная, A′ — её образ, а A — прообраз A′.

Ошибка: полагать, что образ всегда равен исходной фигуре. Так можно решить, если представить лишь преобразования, сохраняющие форму и положение. Однако общее правило может перемещать точки по-разному, поэтому образ способен отличаться от исходной фигуры. Проверьте соответствия точек и только затем сравнивайте полученные фигуры.

Связь с другими темами

Для изучения преобразований нужны понятия точки, плоскости, фигуры и многоугольника, а также умение обозначать вершины. На них опирается запись соответствий и построение образов. Понятие преобразования служит основой для изучения движений, симметрий и других геометрических преобразований. Оно пригодится при исследовании равенства фигур и построении образов геометрических объектов, потому что позволяет сравнивать исходные точки с полученными по одному правилу.

Что запомнить

• Преобразование плоскости задаёт соответствие между её точками.
• Образ точки — точка, в которую она переходит.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Образ и прообраз — разные понятия.
• Чтобы найти образ многоугольника, нужно преобразовать его вершины.
• Образ фигуры не обязательно совпадает с исходной фигурой.