"Геометрия", Погорелов А.В.
Движение — преобразование плоскости, при котором каждой точке соответствует другая точка, а расстояния между точками не меняются. Например, при переносе фигуры её положение меняется, но форма и размеры остаются прежними. Это свойство помогает доказывать равенство отрезков и углов, а также находить образы прямых и фигур без измерений. Главное: движение сохраняет расстояния, поэтому вместе с ними сохраняются многие геометрические свойства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение плоскости — преобразование, при котором каждой точке плоскости сопоставляется точка так, что расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Если A переходит в A′, а B — в B′, то AB = A′B′. Это определение позволяет проверять, изменились ли размеры фигуры: если все расстояния между её точками остались прежними, форма не исказилась.
Точку A′ называют образом точки A при движении, а A — прообразом A′. Запись A → A′ показывает, куда перешла точка; для каждой точки плоскости существует ровно один образ, и разные точки не переходят в одну и ту же точку. Это нужно, чтобы преобразование задавало однозначное перемещение всей фигуры, а не только отдельных её частей.
Если при движении отрезок AB переходит в A′B′, то равенство AB = A′B′ означает, что отрезок сохранил длину. Аналогично, образ угла ABC — угол A′B′C′, если его вершины переходят соответственно в A′, B′ и C′. Такие обозначения помогают проследить, какие элементы фигуры соответствуют друг другу и какие равенства можно использовать в доказательстве.
Расстояние сохраняется для любой пары точек, а не только для вершин какой-нибудь одной фигуры. Поэтому у движущейся фигуры не может растянуться или укоротиться ни одна часть: расстояния между всеми её точками остаются такими же, как прежде. Именно это отличает движение от преобразования, которое просто меняет положение некоторых точек, но может изменить форму.
Движение переводит прямую в прямую. Возьмём на исходной прямой две точки A и B: их образы A′ и B′ находятся на расстоянии AB друг от друга, а точки, лежащие на отрезке AB, переходят в точки между A′ и B′. Чтобы убедиться, что образом будет вся прямая, а не только её часть, учитывают, что движением можно пройти и в обратную сторону: каждой точке образа соответствует исходная точка.
Отрезок переходит в отрезок той же длины, потому что его концы переходят в образы, а все точки между концами остаются между образами. Если A, B и C лежат на одной прямой и B находится между A и C, то AB + BC = AC. После движения длины этих частей сохраняются, значит, образ B располагается между образами A и C. Так сохраняются не только длины, но и порядок точек на прямой.
Величина угла также сохраняется. Для угла ABC возьмём на его сторонах точки A и C, равноудалённые от вершины B; при движении все три расстояния между выбранными точками сохранятся. Значит, полученные треугольники будут равны по трём сторонам, а соответствующие углы в них равны. Поэтому образ угла ABC имеет ту же величину, что и исходный угол.
Сохранение прямых и углов объясняет, почему движение сохраняет параллельность и перпендикулярность. Параллельные прямые не пересекаются, и после движения их образы также не могут пересечься: иначе обратное движение привело бы к точке пересечения исходных прямых. Перпендикулярные прямые образуют прямой угол, а величина угла при движении не меняется, поэтому образы этих прямых тоже перпендикулярны.
| Фигура или свойство | Что происходит при движении | Почему |
|---|---|---|
| Расстояние между точками | Остаётся прежним: AB = A′B′ | Это основное условие движения |
| Прямая | Переходит в прямую | Сохраняются расстояния и порядок точек |
| Отрезок | Переходит в равный ему отрезок | Переходят его концы, а длина сохраняется |
| Угол | Переходит в угол той же величины | Соответствующие треугольники равны |
| Параллельность и перпендикулярность | Сохраняются | Сохраняются прямые и величины углов |
Пользуйся таблицей, когда нужно понять, какое свойство можно перенести с фигуры на её образ. Сначала установи, какие элементы соответствуют друг другу, а затем выбери нужную строку. Например, если доказывается равенство образов отрезков, достаточно применить сохранение расстояний.
Задача. При движении точки A, B и C переходят соответственно в A′, B′ и C′. Известно, что AB = 5 см, BC = 3 см, AC = 8 см, причём B лежит между A и C. Найдите длины образов отрезков и определите, какой из образов лежит между двумя другими. Нужно использовать не догадку по рисунку, а свойства движения.
Ответ: A′B′ = 5 см, B′C′ = 3 см, A′C′ = 8 см; точка B′ лежит между A′ и C′. В решении мы отдельно использовали сохранение длин и сохранение порядка точек. Это важно: равенство длин само по себе без связи с исходным расположением не объясняет, какой образ находится между двумя другими.
Ошибка: считать, что движение обязательно перемещает фигуру в другое место. Так думают, потому что слово «движение» напоминает обычное перемещение предмета. Но преобразование может оставить все точки на месте, и расстояния всё равно будут сохранены. Проверь себя: соответствует ли преобразование определению, а не только привычному представлению о перемещении?
Ошибка: переносить длину отрезка на несоответствующую пару точек. Такое случается, когда обозначения образов записаны невнимательно. Если A → A′ и B → B′, то длине AB соответствует A′B′, а не, например, A′C′. Перед вычислением составь пары «точка — её образ» и проверь, что концы отрезка сопоставлены в том же порядке.
Ошибка: полагать, что сохранение длин автоматически доказывает любое свойство фигуры. Например, нельзя по одной длине заключить, что точки лежат на одной прямой или что угол прямой. Для каждого вывода нужно назвать подходящее свойство: для прямой — сохранение прямых, для угла — сохранение его величины. Самопроверка проста: спроси себя, какое именно свойство движения обосновывает каждый шаг.
Свойства движения опираются на понятия расстояния, прямой, отрезка и угла, изученные в планиметрии. Они связаны с равенством треугольников: сохранение расстояний позволяет получить равные соответствующие стороны, а затем обосновать равенство углов. Движение также помогает рассуждать о симметрии: при некоторых преобразованиях фигура совмещается сама с собой. Поэтому свойства движения пригодятся при доказательствах и изучении геометрических фигур.
83. Свойства движения
