84. Симметрия относительно точки

Определения и обозначения

Точки A и A′ называются симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA′. Иначе говоря, точки A, O и A′ лежат на одной прямой, O находится между A и A′, а OA = OA′. Это определение позволяет точно установить, где должен располагаться образ точки и как проверить его построение.

Точка O, относительно которой рассматривают симметрию, называется центром симметрии. Она задаёт положение всех пар симметричных точек: для каждой исходной точки её образ находится на той же прямой по другую сторону от O и на таком же расстоянии. Поэтому знание центра необходимо и для построений, и для проверки симметрии.

Фигура, симметричная данной относительно точки O, состоит из точек, симметричных относительно O точкам исходной фигуры. Каждой точке исходной фигуры соответствует её образ, а образами всех точек вместе образуется новая фигура. Это определение помогает перейти от построения одного образа к построению целой фигуры.

Фигура называется симметричной относительно точки, если вместе с каждой своей точкой она содержит точку, симметричную ей относительно этого центра. Такую точку называют центрально-симметричной фигурой, а заданную точку — её центром симметрии. Это условие нужно, чтобы проверить симметрию всей фигуры, а не только отдельных её частей.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную A относительно O, сначала проводят прямую AO. Искомая точка должна лежать на этой прямой: только так отрезок между точками пройдёт через центр. Затем за O откладывают отрезок OA′, равный OA. Равные отрезки по разные стороны от O делают его серединой AA′, поэтому построение соответствует определению.

Почему именно центр оказывается серединой отрезка? По определению расстояния от него до исходной точки и до её образа равны, а обе точки лежат на одной прямой по разные стороны от него. Значит, отрезок между точками состоит из двух равных частей с общей точкой O. Это даёт простой способ проверить чертёж: убедись, что O находится между точками и что OA = OA′.

Чтобы получить фигуру, симметричную данной, строят образы её точек. Для многоугольника достаточно построить образы вершин, а затем соединить их в том же порядке, что и исходные вершины: например, A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ у треугольника ABC. Порядок сохраняет соответствие сторон и не позволяет случайно получить другую конфигурацию. Для фигуры с кривой границей образуют точки этой границы, а затем проводят через них соответствующую линию.

Симметрия относительно точки сохраняет расстояния между соответствующими точками. Если A и B переходят в A′ и B′, то OA = OA′ и OB = OB′; угол между лучами OA и OB равен углу между противоположными лучами OA′ и OB′. Поэтому треугольники OAB и OA′B′ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB = A′B′. Значит, при таком преобразовании фигура не растягивается и не меняет форму.

Чтобы проверить, есть ли у фигуры центр симметрии, выбери предполагаемую точку O и сопоставь точки фигуры попарно. Для каждой точки нужно найти другую на той же прямой через O, с равным расстоянием до O и по другую сторону. Если хотя бы у одной точки образа в фигуре нет, выбранная точка не является центром. Проверять можно мысленно или по чертежу, но для точного вывода важно учесть все точки фигуры.

Симметрия относительно точки: построение и распознавание

Сначала определи, что именно требуется: построить образ точки, целой фигуры или проверить наличие центра. Затем пользуйся соответствующей строкой таблицы и проверяй, что центр делит отрезок между точками пополам. Для многоугольника дополнительно следи за порядком соединения образов вершин.

Разбор задач

Задача 1. Постройте точку A′, симметричную точке A относительно точки O. Нужно расположить A′ так, чтобы O стало серединой AA′. Поэтому сначала определяем прямую, на которой могут находиться все три точки, а затем откладываем равное расстояние по другую сторону от центра.

1. Проведём прямую через A и O. Искомая точка должна лежать на ней, потому что O и симметричные точки находятся на одной прямой.
2. Поставим одну ножку циркуля в A, другую — в O и запомним длину OA. Так мы задаём нужное расстояние, не выбирая его на глаз.
3. Не меняя раствора циркуля, отметим на прямой точку за O. Назовём её A′; тогда OA′ = OA и O находится между A и A′.

Ответ: точка A′, построенная за O на прямой AO так, что OA′ = OA. Проверка показывает, что O — середина AA′, следовательно, A и A′ симметричны относительно O.

Задача 2. Постройте фигуру, симметричную треугольнику ABC относительно точки O. Поскольку треугольник задан вершинами, достаточно найти образы каждой из них. Соответствующие вершины нужно соединить в том же порядке, иначе стороны могут образовать другую фигуру.

1. Проведём прямые AO, BO и CO. На каждой прямой будем строить образ соответствующей вершины.
2. Построим A′, B′ и C′ так, чтобы O была серединой AA′, BB′ и CC′ соответственно. Для каждой пары отложим от O расстояние, равное расстоянию до исходной вершины.
3. Соединим A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Полученный треугольник A′B′C′ — образ ABC.

Ответ: треугольник A′B′C′. Каждая его вершина симметрична соответствующей исходной вершине относительно O, а порядок сторон повторяет порядок сторон ABC.

Задача 3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в O и делятся этой точкой пополам. Является ли O центром симметрии четырёхугольника? Диагонали соединяют противоположные вершины, поэтому условие сразу связывает пары A и C, B и D. Проверим каждую пару по определению.

1. Так как диагональ AC делится точкой O пополам, O — середина AC. Значит, вершины A и C симметричны относительно O.
2. Так как диагональ BD также делится O пополам, O — середина BD. Следовательно, B и D тоже симметричны относительно O.
3. Все вершины четырёхугольника разбились на пары симметричных точек, и каждой вершине соответствует другая вершина фигуры. Значит, O служит центром симметрии четырёхугольника.

Ответ: да, O является центром симметрии ABCD. Здесь проверены все вершины: центр делит обе диагонали пополам, а диагонали соединяют противоположные вершины.

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать равный отрезок от исходной точки в произвольном направлении. Равенства OA = OA′ недостаточно: исходная точка, центр и образ должны лежать на одной прямой. Ошибка возникает, если помнить только про одинаковые расстояния; проверь построение линейкой или по направлению прямой AO.

Вторая ошибка — помещать центр симметрии в конец отрезка, а не в его середину. Так может получиться, что расстояния от O до точек не равны или обе точки расположены по одну сторону от O. Причина часто в том, что ученик считает центр просто точкой отсчёта; проверь, находится ли O между точками и равны ли отрезки от него до них.

Третья ошибка — соединять образы вершин фигуры не в том порядке. Например, у треугольника нужно соединить A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′, а не выбирать пары наугад. Неверный порядок меняет конфигурацию; чтобы проверить себя, выпиши исходные вершины по кругу и перенеси тот же порядок на их образы.

Четвёртая ошибка — считать, что центр обязательно лежит внутри фигуры или на её границе. Центр задаёт середины отрезков между соответствующими точками, но сам может не принадлежать фигуре. Такое предположение возникает по привычке искать все важные точки внутри чертежа; проверяй не положение центра относительно границы, а наличие в фигуре образа каждой её точки.

Связь с другими темами

Для построений пригодятся умения находить середину отрезка и откладывать отрезок заданной длины. Если эти действия пока вызывают затруднение, сначала повтори их: без них нельзя точно расположить образ точки относительно центра. Построение фигуры сводится к повторению такого действия для её точек.

Симметрия относительно точки помогает распознавать симметричные фигуры и использовать свойства многоугольников. Например, если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам, то противоположные вершины попарно симметричны относительно точки пересечения. Позже центральная симметрия будет изучаться как геометрическое преобразование, которое переводит каждую точку фигуры в её образ.

Что запомнить

• Симметричные точки лежат на одной прямой с центром симметрии.
• Центр симметрии — середина отрезка, соединяющего симметричные точки.
• Чтобы построить точку, симметричную данной, достаточно провести прямую через данную точку и центр.
• При симметрии относительно точки сохраняются расстояния.
• Образ фигуры строят по образам её точек.
• Фигура имеет центр симметрии, если вместе с каждой её точкой ей принадлежит симметричная точка.