5.1. Движение

Определения и обозначения

Движение — преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между любыми двумя точками. Иными словами, если точки A и B переходят в A′ и B′, то A′B′ = AB. Это определение позволяет отличить движение от растяжения, сжатия или другого изменения размеров.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при движении. Обычно образ точки A обозначают A′, а соответствие записывают так: A → A′. Такое обозначение помогает понимать, какие точки и отрезки нужно сравнивать после преобразования.

Образ фигуры — множество образов всех точек исходной фигуры. Поэтому образ треугольника включает не только образы его вершин, но и образы всех точек сторон. Для построения многоугольника достаточно построить образы вершин и соединить их в соответствующем порядке.

Прообраз — исходная точка или фигура, которая переходит в заданный образ. Если A → A′, то A — прообраз точки A′. Понятие нужно, когда преобразование рассматривают в обратную сторону и восстанавливают исходную фигуру.

Как это устроено

Движение задаёт соответствие между всеми точками плоскости: каждой исходной точке ставится в соответствие её образ. Единственность образа означает, что одна точка не может одновременно перейти в две разные точки, иначе расстояния до остальных точек нельзя было бы сохранять однозначно. При этом разные точки не сливаются в одну, потому что ненулевое расстояние между ними после движения должно остаться ненулевым.

Сохранение расстояний приводит к сохранению длин отрезков: длина отрезка AB равна расстоянию между его концами, поэтому A′B′ = AB. Угол также сохраняется, хотя это не записано отдельно в определении: два угла можно сравнить через треугольники, а треугольники с равными тремя сторонами равны. Значит, соответствующие углы равны, а форма фигуры не меняется.

Прямая AB состоит из точек X, для которых выполняется условие AX + XB = AB, если A и B лежат по разные стороны от X или на концах нужного отрезка. После движения все расстояния в этом равенстве сохраняются, поэтому образы таких точек снова лежат на одной прямой A′B′. Отрезок переходит именно в отрезок A′B′, причём его длина равна длине исходного.

Чтобы найти образ треугольника ABC, достаточно определить образы трёх вершин: A′, B′ и C′, а затем соединить их отрезками. Для многоугольника так же строят образы всех вершин и соответствующих сторон, а для произвольной фигуры образуют множество образов всех её точек. Знание образов нескольких точек позволяет восстановить фигуру, если её остальные точки однозначно задаются этими точками и связями между ними.

Если две фигуры совмещаются движением, то соответствующие расстояния, углы, площади и периметры у них одинаковы, поэтому фигуры являются равными. Последовательное выполнение двух движений также сохраняет расстояния: первое движение их не меняет, и второе не меняет результат. Следовательно, композиция, то есть последовательное выполнение, снова является движением.

Свойства фигур при движении

В таблице сопоставлены исходный объект, его поведение при движении и практический вывод. При решении задачи сначала определите соответствующие точки, а затем применяйте нужную строку. Это помогает не сравнивать случайные элементы двух фигур.

Разбор задач

1. Параллельный перенос точек

Условие: точка A(−2; 3) при движении переходит в A′(4; 1). Найдите образ точки B(1; −2), если движение является параллельным переносом.

1. При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор. Его координаты найдём по точке A: (4 − (−2); 1 − 3) = (6; −2).
2. Применим этот вектор к точке B: B′ = (1 + 6; −2 − 2) = (7; −4).
3. Одинаковый вектор использован для обеих точек, поэтому найденная точка действительно является образом B.

Ответ: B′(7; −4).

2. Поворот треугольника

Условие: постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки и докажите равенство треугольников.

1. Для каждой вершины проведите луч из O: OA, OB и OC. На каждом луче постройте перпендикулярное направление против часовой стрелки и отложите равные расстояния: OA′ = OA, OB′ = OB, OC′ = OC.
2. Соедините точки A′, B′ и C′. Получится образ треугольника A′B′C′.
3. Поворот сохраняет расстояния, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA. По трём равным сторонам треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′; он равен исходному треугольнику.

3. Равенство треугольников при движении

Условие: докажите, что треугольники ABC и A′B′C′ равны, если при некотором движении A переходит в A′, B — в B′, а C — в C′. Укажите, какие элементы сохраняются.

1. Так как движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками, из AB получаем A′B′ = AB, из BC — B′C′ = BC, а из CA — C′A′ = CA.
2. Три стороны одного треугольника равны трём соответствующим сторонам другого, поэтому треугольники равны по третьему признаку.
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Кроме того, сохраняются периметр, площадь, параллельность и перпендикулярность соответствующих прямых.

Ответ: треугольники равны; сохраняются их стороны, углы, площадь и периметр.

Типичные ошибки

Считать движением любое перемещение фигуры. Фигуру можно перенести с изменением масштаба, но это уже не движение, если расстояния изменились. Проверьте хотя бы несколько соответствующих расстояний, а в доказательстве укажите сохранение расстояний для любых точек.

Путать образ фигуры с образами отдельных вершин. Вершины задают удобный способ построения многоугольника, но образ фигуры содержит образы всех её точек. Проверьте, что после соединения образов вершин учтены все стороны и внутренние точки исходной фигуры.

Утверждать, что при движении меняются длины или углы. Такая ошибка возникает, когда движение путают с растяжением или искажением. Сопоставьте концы отрезка и стороны угла: их расстояния и величина угла должны сохраниться.

Неверно определять соответствующие элементы. Если A переходит в A′, сравнивать нужно AB и A′B′, а не AB и A′C′. Перед решением выпишите пары соответствующих точек и только затем сравнивайте отрезки и углы.

Связь с другими темами

До изучения движения нужны понятия преобразования плоскости, равных фигур, отрезка, угла и координат точки. Они позволяют записывать соответствия и проверять, какие величины сохраняются.

Движение служит основой для осевой и центральной симметрии, поворота и параллельного переноса. Эти преобразования являются конкретными способами перемещения точек плоскости.

В дальнейшем движения применяются при доказательстве равенства фигур и построении геометрических объектов. Идея сохранения расстояний также полезна при исследовании преобразований графиков.

Что запомнить

• Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• При движении сохраняются длины, углы, площади и периметры.
• Прямая переходит в прямую, а отрезок — в равный ему отрезок.
• При движении сохраняются параллельность и перпендикулярность.
• Фигуры, совмещаемые движением, равны.
• Последовательное выполнение движений также является движением.