§ 3. Многогранники, описанные около сферы

Определения и обозначения

Многогранник, описанный около сферы, — многогранник, все грани которого касаются одной сферы. Иными словами, сфера расположена внутри и касается каждой грани, а не только нескольких из них. Это определение помогает отличать такие многогранники от фигур, вписанных в сферу.

Сфера, вписанная в многогранник, — сфера, касающаяся каждой его грани. Сферу можно представить как поверхность, которая соприкасается с плоскими гранями в точках касания. Упоминание именно сферы важно: шаром называют сферу вместе с внутренней областью.

Центр вписанной сферы — точка, равноудалённая от плоскостей всех граней многогранника. Равенство расстояний объясняется тем, что каждая плоскость касается одной и той же сферы. Поиск такой точки позволяет проверять, может ли у многогранника быть вписанная сфера.

Радиус вписанной сферы — расстояние от её центра до любой грани многогранника. Для вычислений обычно обозначают его буквой r; расстояние до плоскости грани измеряют по перпендикуляру. Этот радиус связывает объём многогранника с площадью его поверхности.

Как это устроено

Когда сфера касается плоскости, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой плоскости. Поэтому кратчайшее расстояние от центра сферы до плоскости равно длине радиуса. Если одна сфера касается всех граней, её центр отстоит от каждой плоскости на одно и то же расстояние r. Именно отсюда возникает условие равноудалённости центра.

Чтобы проверить, описан ли многогранник около сферы, сначала ищут точку внутри него, расстояния от которой до плоскостей граней одинаковы. Затем из точки опускают перпендикуляры на плоскости и проверяют основания перпендикуляров. Если все они принадлежат соответствующим граням, сфера радиуса, равного общему расстоянию, действительно касается этих граней. Проверка расположения нужна потому, что грань ограничена сторонами, а её плоскость продолжается бесконечно.

Для выпуклого многогранника с вписанной сферой проведём отрезки от центра сферы ко всем вершинам. Многогранник разобьётся на пирамиды, основаниями которых будут его грани, а общей вершиной — центр сферы. Высота каждой такой пирамиды равна расстоянию от центра до плоскости её основания, то есть r. Выпуклость важна: она позволяет составить разбиение без наложений и пропусков.

Объём каждой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поэтому объём всего многогранника равен сумме выражений Sᵢr/3, где Sᵢ — площадь отдельной грани. Радиус общий для всех пирамид, значит, его можно вынести за знак суммы. Поскольку сумма площадей граней равна полной площади поверхности S, получаем V = rS/3, а после преобразования — r = 3V/S.

Одних одинаковых расстояний от точки до плоскостей недостаточно, чтобы доказать касание именно граней. Основание перпендикуляра может оказаться за пределами многоугольника, поэтому сфера коснётся только продолжения его плоскости. Следовательно, кроме равноудалённости, нужно проверить положение каждой точки касания. Иначе найденная сфера не будет вписана в данный многогранник.

Основные характеристики многогранника, описанного около сферы

Таблица помогает выбрать нужную связь в зависимости от известных величин: если известны объём и полная площадь, можно найти радиус. Перед подстановкой проверь, что S — сумма площадей всех граней, а не площадь одной из них. Формулы объёма применимы к выпуклому многограннику с вписанной сферой.

Разбор задач

Куб описан около сферы. Найдите радиус сферы, если ребро куба равно a.

1. У куба есть три пары противоположных граней, и расстояние между каждой парой равно длине ребра a. Сфера касается всех шести граней, поэтому её центр находится посередине между каждой парой противоположных плоскостей.
2. Радиус сферы — расстояние от центра до одной грани, то есть половина расстояния между двумя противоположными гранями. Получаем 2r = a.
3. Делим равенство на два: r = a/2. Такой результат согласуется с симметрией куба: центр сферы совпадает с центром куба.

Ответ: r = a/2.

Правильный тетраэдр со стороной a описан около сферы. Найдите радиус сферы.

1. Используем формулу r = 3V/S. У правильного тетраэдра четыре равные грани — равносторонние треугольники, поэтому S = 4 · (√3a²/4) = √3a².
2. Объём правильного тетраэдра со стороной a равен V = √2a³/12. Подставляем обе величины: r = 3 · (√2a³/12)/(√3a²).
3. Сокращаем a³ на a² и числовые множители: r = √6a/12. Радиус имеет размерность длины, что соответствует исходной задаче.

Ответ: r = √6a/12.

Выпуклый многогранник объёмом V описан около сферы, а площадь его поверхности равна S. Найдите радиус сферы и обоснуйте, почему формула применима.

1. Соединим центр сферы с вершинами многогранника. Благодаря выпуклости получившиеся пирамиды без наложений заполняют весь многогранник, а их основаниями служат все его грани.
2. Высота каждой пирамиды равна r, поскольку центр сферы отстоит от плоскости каждой грани на радиус. Сумма площадей оснований равна полной площади поверхности S.
3. Складываем объёмы пирамид: V = rS/3. Выражаем неизвестный радиус: r = 3V/S. Формула применима именно потому, что есть вписанная сфера и многогранник выпуклый.

Ответ: r = 3V/S.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что равных расстояний до плоскостей достаточно для касания граней. Так думают, потому что грань часто представляют как целую плоскость, хотя она ограничена. Проверь основания перпендикуляров: они должны находиться внутри многоугольников или на их границах. Если хотя бы одно основание оказалось за пределами грани, условие не выполнено.

Не смешивай сферу и шар: сфера — только поверхность, шар включает все точки внутри неё. Путаница возникает, когда слова используют как синонимы в быту, но в геометрии это разные объекты. Для касания граней речь идёт о сфере. Уточняй, описан ли многогранник около сферы или шар вписан в многогранник.

В формуле r = 3V/S нельзя подставлять площадь только одной грани вместо S. Такая ошибка появляется, если забыть, что многогранник разбивается на пирамиды с основаниями во всех гранях. Перед вычислением сложи площади всех граней. Проверка единиц тоже полезна: объём, делённый на площадь, должен дать длину.

Неверно считать, что вокруг любого многогранника можно описать сферу. Для этого плоскости всех граней должны быть расположены так, чтобы существовал общий центр на одинаковом расстоянии, а точки касания лежали на самих гранях. Возможность найти равные расстояния ещё не гарантирует выполнение второго условия. Проверяй оба условия, прежде чем применять формулу для радиуса.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия расстояния от точки до плоскости и перпендикуляра к плоскости: именно так определяется радиус касающейся сферы. Полезно знать и свойство касательной к сфере — радиус в точку касания перпендикулярен плоскости. Формула V = rS/3 опирается на объём пирамиды и сумму площадей граней. Она помогает связывать объём, площадь поверхности и радиус в задачах на многогранники.

Что запомнить

• Сфера, вписанная в многогранник, касается каждой его грани.
• Расстояние от центра вписанной сферы до плоскости каждой грани равно радиусу.
• Точки касания должны лежать на гранях многогранника.
• Выпуклый многогранник с вписанной сферой можно разбить на пирамиды с общей вершиной в центре сферы.
• Для такого многогранника V = rS/3.
• Следовательно, r = 3V/S, где S — полная площадь поверхности.