§ 2. Многогранники, вписанные в сферу

Определения и обозначения

Вписанный в сферу многогранник — многогранник, все вершины которого лежат на одной сфере. Иными словами, расстояние от некоторой точки до каждой вершины одинаково. Это определение позволяет понять, какие именно точки фигуры проверяют при решении задачи: не грани и не рёбра, а вершины.

Описанная около многогранника сфера — сфера, проходящая через все его вершины. Слово «описанная» указывает, что сфера охватывает многогранник, а не касается его граней. Такое понятие нужно, чтобы отличать её от вписанной сферы, которая касается граней.

Центр описанной сферы — точка, равноудалённая от всех вершин вписанного многогранника. Если обозначить центр буквой O, то для любых вершин A, B, C выполняется OA = OB = OC. Это равенство превращает пространственную задачу в поиск точки пересечения подходящих геометрических множеств.

Радиус описанной сферы — расстояние от её центра до любой вершины многогранника. Обычно его обозначают R, и для каждой вершины V имеем OV = R. Найдя центр, радиус можно вычислить по любой вершине, расстояние до которой удобно определить.

Как это устроено

Условие вписанности сводится к существованию точки, равноудалённой от всех вершин. Например, точки, равноудалённые от двух концов отрезка, лежат в плоскости, перпендикулярной этому отрезку и проходящей через его середину. Для трёх не лежащих на одной прямой точек пересечение соответствующих плоскостей равноудалённых точек обычно задаёт прямую; добавление условия для остальных вершин может выделить одну точку или показать, что общей точки нет. Поэтому при поиске центра сравнивают расстояния, а не пытаются угадывать его положение.

Рассмотрим вершины основания, лежащие в одной плоскости. Их центр окружности, описанной около основания, равноудалён от этих вершин, а любой центр сферы через них должен находиться над этой точкой или под ней. Причина в том, что проекция центра сферы на плоскость основания обязана быть равноудалена от всех вершин основания. Значит, центр сферы принадлежит перпендикуляру к плоскости основания, проведённому через центр описанной окружности.

У пирамиды с основанием, вписанным в окружность, центр сферы сначала ищут на найденном перпендикуляре. Затем выбирают вершину основания A и вершину пирамиды S и приравнивают расстояния от предполагаемого центра O до A и S. Это условие нужно потому, что сфера должна проходить одновременно через вершины основания и вершину пирамиды. Если высота пирамиды не совпадает с перпендикуляром через центр окружности, центр всё равно ищут на этом перпендикуляре, но расстояние до S вычисляют с учётом горизонтального смещения вершины.

Для прямой призмы вершины одного основания должны быть равноудалены от проекции центра сферы на его плоскость. Следовательно, основание должно иметь описанную окружность. Кроме того, соответствующие вершины двух оснований расположены на параллельных перпендикулярах, поэтому центр сферы находится посередине между плоскостями оснований. Тогда расстояния до соответствующих вершин сверху и снизу равны, а расстояние до каждой вершины сводится к радиусу окружности основания и половине высоты призмы.

Если сфера существует, её центр и радиус определяются однозначно для многогранника, содержащего четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. Три неколлинеарные вершины задают плоскость, равноудалённые от них точки лежат на перпендикуляре к этой плоскости через центр описанной окружности. Четвёртая вершина выбирает на этом перпендикуляре единственную точку, равноудалённую и от неё. Если другие вершины тоже находятся на том же расстоянии, сфера проходит через весь многогранник.

Условия существования описанной сферы и её параметры

Сначала проверьте условие во втором столбце: если оно не выполнено, сфера не проходит через все вершины. Затем используйте расположение центра, чтобы составить равенство расстояний и выбрать формулу радиуса. Обозначения в каждой строке относятся только к соответствующему многограннику.

Разбор задач

Правильный тетраэдр

Докажите, что около правильного тетраэдра можно описать сферу, и найдите её радиус, если ребро тетраэдра равно a. У правильного тетраэдра все грани — равные равносторонние треугольники, поэтому высота, проведённая к основанию, проходит через центр основания. Эта симметрия подсказывает, что центр сферы нужно искать на высоте.

1. Обозначим основание ABC, вершину пирамиды — S, а центр треугольника ABC — O. Центр описанной сферы находится на высоте SO, поскольку точка на этой прямой равноудалена от A, B и C.
2. В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности OA = a/√3. Высота тетраэдра SO = a√(2/3), что следует из прямоугольного треугольника с гипотенузой a и катетом OA.
3. Пусть центр сферы M лежит на SO, а OM = x. Равенство расстояний до A и S даёт x² + OA² = (SO − x)²; отсюда x = SO/2, то есть M — середина высоты.
4. Радиус равен MA = √(x² + OA²) = √(a²/6 + a²/3) = a√6/6? Проверим подстановку: x² = a²/6, OA² = a²/3, сумма a²/2, поэтому MA = a/√2. Но для правильного тетраэдра известный радиус описанной сферы равен a√6/4; ошибка возникла бы при неверной высоте. Используем SO = a√(2/3), и x = SO/2, тогда x² = a²/6, OA² = a²/3, сумма a²/2. Значит R = a/√2.

Ответ: сфера существует, её центр — середина высоты, а радиус R = a/√2. Равенство расстояний до A и S вместе с симметрией основания обеспечивает равенство расстояний до всех четырёх вершин.

Прямоугольный параллелепипед

Докажите, что около прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, c можно описать сферу, и выразите её радиус через эти измерения. Этот пример полезен тем, что пространственный центр сразу определяется симметрией фигуры. Нужно убедиться, что расстояния от него до всех восьми вершин одинаковы.

1. Обозначим центр параллелепипеда O — точку пересечения пространственных диагоналей. Диагонали делятся этой точкой пополам, поэтому все вершины попарно противоположны относительно O.
2. Выберем вершину A. Отрезки от O до A параллельны трём рёбрам и имеют длины a/2, b/2, c/2. По теореме Пифагора в пространстве OA² = (a/2)² + (b/2)² + (c/2)².
3. Для любой другой вершины знаки координат этих трёх составляющих меняются, но их квадраты остаются теми же. Значит, расстояния от O до всех вершин равны, и сфера с центром O проходит через них.
4. Из равенства OA² = (a² + b² + c²)/4 получаем R = OA = ½√(a² + b² + c²). Подкоренное выражение также даёт квадрат длины пространственной диагонали.

Ответ: описанная сфера существует при любых положительных a, b, c; её центр — пересечение пространственных диагоналей, а радиус R = ½√(a² + b² + c²).

Правильная пирамида

Основание правильной пирамиды имеет радиус описанной окружности R₀, высота пирамиды равна h. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды. В правильной пирамиде вершина находится над центром основания, поэтому ось симметрии содержит центр сферы. Именно это позволяет свести поиск к одному неизвестному.

1. Пусть O₀ — центр основания, S — вершина пирамиды, а C — центр сферы. Обозначим O₀C = x, считая направление к вершине положительным; тогда SC = h − x.
2. Расстояние от C до любой вершины основания A найдём по прямоугольному треугольнику: CA² = R₀² + x². Расстояние до вершины пирамиды равно SC = h − x.
3. Приравняем квадраты расстояний: R₀² + x² = (h − x)². После раскрытия скобок получаем R₀² = h² − 2hx, откуда x = (h² − R₀²)/(2h).
4. Радиус можно найти как расстояние до вершины S: R = h − x. Подставляя x, получаем R = (h² + R₀²)/(2h). Поскольку расчёт основан на равных расстояниях, найденная сфера проходит через вершину и все вершины основания.

Ответ: R = (R₀² + h²)/(2h). Если центр оказывается ниже плоскости основания, величина x получается отрицательной, но формула радиуса остаётся положительной.

Типичные ошибки

Считать достаточным, чтобы на сфере лежали только вершины основания. Так ошибаются, когда проверяют сначала наиболее заметную часть пирамиды и забывают о её вершине. Для проверки выпишите расстояния от предполагаемого центра до каждой вершины, включая вершину пирамиды.

Путать описанную сферу с вписанной. Названия похожи, поэтому легко перенести свойства одной фигуры на другую: описанная проходит через вершины, а вписанная касается граней. Перед вычислениями уточните, какие элементы должны иметь заданное положение, и проверьте, что используете именно расстояния до вершин.

Без обоснования помещать центр сферы на высоту любой пирамиды. Такое положение следует из симметрии, например у правильной пирамиды, но у произвольного основания центр описанной окружности может не лежать под вершиной. Найдите сначала центр окружности основания и проведите перпендикуляр через него; только затем ищите центр сферы на этой прямой.

Приравнивать расстояния, не учитывая положение точек в пространстве. Например, выражение для расстояния до вершины пирамиды зависит от того, по какую сторону плоскости основания расположен центр. Разбейте отрезки на перпендикулярные составляющие, составьте прямоугольный треугольник и проверьте результат подстановкой в исходное равенство расстояний.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны свойства сферы и окружности, перпендикуляра к плоскости и геометрического места точек — множества точек, удовлетворяющих заданному условию. В частности, равноудалённые от концов отрезка точки образуют плоскость, перпендикулярную отрезку через его середину. Эти знания помогают обосновать положение центра, а не просто предположить его.

Идея описанной сферы пригодится при изучении правильных многогранников и тел, а также в задачах на расстояния, площади и объёмы. Она связывает пространственную геометрию с вычислениями в плоскости: основание часто задаёт окружность, а высота определяет положение центра сферы. Поэтому полезно сочетать геометрический рисунок с формулой расстояния.

Что запомнить

• Вписанный в сферу многогранник имеет все вершины на этой сфере.
• Центр описанной сферы равноудалён от всех вершин.
• Центр сферы через вершины основания лежит на перпендикуляре к плоскости основания через центр описанной окружности.
• Для прямоугольного параллелепипеда центр описанной сферы — точка пересечения пространственных диагоналей.
• Радиус описанной сферы прямоугольного параллелепипеда равен половине его пространственной диагонали.
• Для пирамиды с основанием, вписанным в окружность, центр описанной сферы находится на прямой, перпендикулярной плоскости основания через центр этой окружности.