"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Сфера — множество точек, равноудалённых от центра, а шар включает ещё и все точки внутри неё. Эти объекты помогают описывать круглые тела и решать задачи о пересечении пространства плоскостями. Главное — сравнить радиус сферы R с расстоянием d от её центра до плоскости: от этого зависит, не встретятся ли они, коснётся ли плоскость сферы или образует окружность сечения. Радиус этой окружности находится по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии R от одной точки O; O называют центром сферы, а R — её радиусом. Иначе говоря, любая точка сферы удалена от O одинаково. Это определение позволяет отличить поверхность круглого тела от его внутренней части и задаёт сферу через центр и радиус.
Шар — часть пространства, состоящая из точек, расстояние от которых до центра не превышает R; сфера является границей шара. Значит, внутрь шара входят точки, удалённые от центра меньше чем на R, а точки самой сферы находятся ровно на расстоянии R. Различие нужно, чтобы не путать поверхность и всё тело вместе с внутренностью.
Сечение сферы плоскостью — множество общих точек сферы и плоскости; если таких точек больше нуля, они образуют окружность. Плоскость может не иметь с поверхностью общих точек, поэтому сечение не всегда существует. Это понятие помогает описать форму линии, по которой плоскость пересекает сферу.
Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку; эту точку называют точкой касания. Такая плоскость касается поверхности, но не пересекает её по окружности. Определение нужно для распознавания предельного случая, когда расстояние от центра до плоскости равно радиусу сферы.
Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг диаметра. При вращении каждая точка полуокружности описывает окружность с центром на оси вращения, и все такие точки оказываются на одинаковом расстоянии от центра исходной полуокружности. Поэтому поверхность вращения и есть сфера. Если вращать полукруг, точки внутри него тоже проходят круговые пути и заполняют всё тело шара; центр и радиус при этом сохраняются.
Рассмотрим плоскость, пересекающую сферу, и опустим из её центра перпендикуляр на плоскость. Обозначим основание перпендикуляра буквой H. Для любой точки A сечения треугольник OHA прямоугольный, а OA — радиус сферы, поэтому OA = R. Кроме того, OH — одна и та же длина d для всех точек A. По теореме Пифагора HA² = R² − d², так что расстояние HA постоянно. Именно поэтому все точки сечения лежат на окружности с центром H.
Взаимное расположение сферы и плоскости определяется расстоянием d от центра сферы до плоскости. Это расстояние измеряют по перпендикуляру, потому что именно кратчайший отрезок от центра задаёт, насколько близко плоскость подходит к сфере. Если d > R, даже ближайшая точка плоскости дальше радиуса, и общих точек нет. Если d = R, плоскость достигает сферы только в основании перпендикуляра, а если d < R, часть плоскости проходит внутри шара и возникает окружность сечения.
Радиус r окружности сечения и расстояние d связаны равенством r² + d² = R². В прямоугольном треугольнике OHA гипотенуза OA равна R, катеты OH и HA равны соответственно d и r. Теорема Пифагора даёт указанное равенство, а значит, r = √(R² − d²). Чем дальше плоскость от центра, тем меньше радиус сечения; при приближении к касательной плоскости он стремится к нулю.
Если плоскость проходит через центр сферы, то d = 0 и радиус сечения равен R. Такое сечение называют большим кругом: оно имеет наибольший радиус среди сечений этой сферы. В случае касания перпендикуляр из центра к плоскости заканчивается в единственной общей точке. Радиус, проведённый в эту точку, лежит на том же перпендикуляре, поэтому он перпендикулярен касательной плоскости.
| Условие | Общие точки | Вид пересечения |
|---|---|---|
| d > R | Общих точек нет | Плоскость внешняя |
| d = R | Одна общая точка | Плоскость касательная |
| d < R | Бесконечно много общих точек | Окружность радиуса r = √(R² − d²) |
| d = 0 | Окружность радиуса R | Большой круг |
Сначала определите радиус сферы R и перпендикулярное расстояние d от её центра до плоскости. Сравнение этих величин сразу показывает, сколько общих точек будет у плоскости и сферы. Если получается окружность, её радиус находят по формуле r = √(R² − d²); случай d = 0 означает, что сечение — большой круг.
Ответ: сечение — окружность радиуса 4 см.
Ответ: 8 см.
Ответ: плоскость касается сферы в точке (3; 4; 0).
Сферу иногда отождествляют с шаром. Причина — в бытовой речи этими словами часто называют один и тот же предмет, например мяч, хотя в геометрии речь идёт о разных множествах точек. Сфера — только граница, шар включает и границу, и внутренность. Проверьте себя вопросом: входят ли в рассматриваемый объект точки, удалённые от центра меньше чем на R?
За расстояние от центра до плоскости могут принять расстояние до произвольной точки на ней. Такое расстояние меняется при выборе точки, тогда как для сравнения с R требуется одна определённая величина. Расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру. Проведите его из центра и обозначьте длину d — именно её нужно сравнивать с радиусом.
При d = R иногда говорят, что сечение — окружность. Это ошибка: радиус возможной окружности по формуле равен √(R² − d²) = 0, и обычной окружности не получается. В этом случае плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку. Проверка проста: подставьте d = R в формулу и сопоставьте результат с определением касательной плоскости.
Радиус сферы путают с радиусом окружности сечения. Они совпадают лишь тогда, когда плоскость проходит через центр, то есть d = 0. В остальных случаях радиус сечения меньше R, поскольку r² = R² − d². Для проверки уточните, проходит ли плоскость через центр, и подставьте d в формулу, а не приравнивайте r к R без основания.
Чтобы исследовать пересечение, нужны понятия расстояния от точки до плоскости и перпендикуляра: без них нельзя найти d. Радиус сечения находится по теореме Пифагора, потому что радиус сферы, радиус окружности сечения и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Эти знания связывают стереометрию с планиметрией и измерениями в пространстве.
Сфера и шар встречаются при изучении тел вращения, а также площадей поверхностей и объёмов. В координатных задачах уравнения сферы и плоскости позволяют определять их взаимное положение и находить точки касания. Поэтому тема служит основой для задач о пространственных фигурах и их сечениях.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера состоит только из точек, удалённых от центра на расстояние R. Шар включает все точки, расстояние от которых до центра не больше R, поэтому содержит и внутренность, и границу.
Как определить, пересекает ли плоскость сферу?
Найдите расстояние d от центра сферы до плоскости и сравните его с радиусом R. При d > R общих точек нет, при d = R есть одна точка, а при d < R пересечение является окружностью.
Почему сечение сферы плоскостью является окружностью?
Центр окружности сечения — основание перпендикуляра из центра сферы на плоскость. Любая точка сечения вместе с центром сферы и этим основанием образует прямоугольный треугольник, в котором длины гипотенузы и одного катета постоянны. Поэтому расстояние от основания перпендикуляра до любой точки сечения одинаково.
Как найти радиус сечения, если известны радиус сферы и расстояние до плоскости?
Используйте равенство r² + d² = R², где r — радиус окружности сечения. Тогда r = √(R² − d²); эта формула применима, если d < R.
Какое сечение сферы называют большим кругом?
Большим кругом называют сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр. Радиус такого сечения равен радиусу сферы R, поэтому оно имеет наибольший радиус среди всех круговых сечений.
§ 1. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости
