§ 4. Цилиндр. Конус

Определения и обозначения

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными параллельными кругами и боковой поверхностью. Круги называют основаниями, прямую через их центры — осью, а расстояние между плоскостями оснований — высотой h. Радиус основания обозначают r; эти обозначения помогают описывать размеры цилиндра и подставлять их в формулы.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований. У прямого цилиндра такая образующая перпендикулярна плоскостям оснований и равна высоте. Образующая нужна, чтобы описывать боковую поверхность и отличать прямой цилиндр от наклонного.

Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, сходящейся в одной вершине. Прямая от вершины к центру основания называется осью, а перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания — высотой h. Радиус r измеряют в круге-основании; вместе с высотой он задаёт размер конуса.

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания; её длину обычно обозначают l. В отличие от высоты, этот отрезок лежит на боковой поверхности и наклонён к основанию. Различать l и h нужно, чтобы верно применять теорему Пифагора и формулу площади боковой поверхности.

Как это устроено

Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, противоположная ей сторона описывает окружность, а остальные точки фигуры образуют боковую поверхность цилиндра. Сторона, вокруг которой происходит вращение, становится осью, а параллельные ей стороны задают расстояние между основаниями. Два оставшихся края прямоугольника описывают равные круги, поэтому основания цилиндра равны. Они лежат в параллельных плоскостях, поскольку получены движением на одинаковом расстоянии вдоль одной оси.

В прямом цилиндре боковые отрезки идут параллельно оси, а ось перпендикулярна плоскостям оснований. Поэтому образующая между основаниями также перпендикулярна этим плоскостям и измеряет расстояние между ними. Это расстояние по определению является высотой, так что длины образующей и высоты совпадают. У наклонного цилиндра такой вывод делать нельзя: наклонная образующая длиннее перпендикулярного расстояния.

Вращение прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов создаёт конус. Этот катет становится осью и высотой, второй катет описывает круг-основание, а гипотенуза образует боковую поверхность. В осевом сечении конуса высота h и радиус r основания — взаимно перпендикулярные катеты, а образующая l — гипотенуза. Поэтому по теореме Пифагора l² = h² + r²; образующая больше каждого из катетов.

Осевое сечение получают плоскостью, проходящей через ось тела. В цилиндре такая плоскость пересекает основания по диаметрам и боковую поверхность по двум образующим, поэтому сечение — прямоугольник со сторонами h и 2r. В конусе сечение проходит через вершину и диаметр основания: образующие становятся боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Его высота совпадает с высотой конуса и делит диаметр основания пополам.

Чтобы найти боковую площадь цилиндра, представим, что поверхность разрезали вдоль образующей и развернули. Получится прямоугольник: одна сторона равна высоте h, а другая — длине окружности основания 2πr, значит Sбок = 2πrh. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор круга радиуса l, длина дуги которого равна 2πr. Площадь этого сектора равна половине произведения радиуса на длину дуги, поэтому Sбок = πrl; полная площадь дополнительно включает площадь основания.

Сравнение цилиндра и конуса

Сначала по таблице определи тип тела и известные элементы, затем выбери нужную формулу. Для конуса перед вычислением площади иногда требуется найти образующую, а для полной площади — не забыть основание или основания.

Разбор задач

1. Боковая поверхность цилиндра

У прямого цилиндра радиус основания равен 3 см, а высота — 5 см. Найдите площадь его боковой поверхности.

1. Используем формулу Sбок = 2πrh: она получается как площадь прямоугольника развёртки.
2. Подставляем известные значения: Sбок = 2π · 3 · 5 = 30π см².
3. Записываем результат в квадратных единицах, поскольку вычислялась площадь.

Ответ: 30π см² (примерно 94,2 см²).

2. Высота конуса по осевому сечению

Осевое сечение прямого кругового конуса — равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой стороной 10 см. Найдите высоту конуса.

1. Основание треугольника равно диаметру основания конуса, поэтому радиус r = 12 : 2 = 6 см. Боковая сторона сечения — образующая l = 10 см.
2. Высота конуса делит осевое сечение на два прямоугольных треугольника с катетами h и 6 см и гипотенузой 10 см.
3. По теореме Пифагора h² + 6² = 10², значит h² = 100 − 36 = 64, откуда h = 8 см. Берём положительный корень, поскольку длина не может быть отрицательной.

Ответ: 8 см.

3. Полная поверхность конуса

Радиус основания конуса равен 6 см, высота — 8 см. Найдите образующую и площадь полной поверхности конуса.

1. Сначала находим образующую по теореме Пифагора: l² = h² + r² = 8² + 6² = 100, поэтому l = 10 см.
2. Площадь боковой поверхности равна πrl = π · 6 · 10 = 60π см². В формуле используется образующая, поскольку боковая развёртка образует сектор радиуса l.
3. Площадь основания равна πr² = 36π см². Складываем площади: Sполн = 60π + 36π = 96π см².

Ответ: образующая — 10 см, площадь полной поверхности — 96π см² (примерно 301,6 см²).

Типичные ошибки

• Подставлять в формулы диаметр вместо радиуса. Так ошибаются, когда принимают видимый на чертеже отрезок через центр за радиус; это удваивает линейный элемент и меняет результат. Проверь себя: радиус идёт от центра до окружности, а диаметр равен двум радиусам.

• Считать образующую конуса равной высоте. Обычно образующая наклонена, поэтому вместе с высотой и радиусом образует прямоугольный треугольник, где l² = h² + r². Равенство l = h возможно лишь при нулевом радиусе, то есть в вырожденном случае; проверь, какая сторона является гипотенузой.

• Называть боковую поверхность полной. Боковая часть не включает круглые основания, поэтому у цилиндра к ней надо добавить два круга, а у конуса — один. Перед вычислениями перечисли, какие поверхности ограничивают тело, и сверь их число с формулой полной площади.

• Использовать высоту вместо образующей в формуле боковой площади конуса. Ошибка возникает из-за того, что высота часто известна в условии, а боковая развёртка связана с наклонными отрезками поверхности. Найди l по теореме Пифагора, если она неизвестна, и только затем вычисляй Sбок = πrl.

Связь с другими темами

Для работы с цилиндром и конусом нужны свойства окружности и круга: длина окружности равна 2πr, площадь круга — πr². При нахождении элементов конуса применяется теорема Пифагора, а осевое сечение помогает представить пространственную задачу на плоскости. Эти тела понадобятся при изучении объёмов тел вращения и задач на комбинации пространственных фигур. Например, цилиндр или конус может быть частью более сложного тела, площадь или объём которого вычисляют по отдельным частям.

Что запомнить

• У цилиндра два равных параллельных основания.
• У прямого цилиндра высота равна образующей.
• Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте и диаметру основания.
• Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник.
• Для конуса квадрат образующей равен сумме квадратов высоты и радиуса основания.
• Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
• В формуле боковой поверхности конуса используется его образующая.