"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Поворот вокруг прямой задаёт движение точек по окружностям, а сама прямая служит неподвижной осью. Если вращать плоскую фигуру целый оборот, она заполняет пространственное тело или образует его поверхность. Так получают цилиндр, конус, шар и сферу. Понимание траекторий точек помогает увидеть форму этих фигур, определить их радиусы и высоты и решать задачи на вращение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот вокруг прямой — движение пространства, при котором каждая точка вне прямой движется по окружности с центром на этой прямой, а сама прямая остаётся неподвижной. Иначе говоря, расстояние от движущейся точки до оси не меняется. Это определение помогает представить поворот как движение с неизменным радиусом траектории.
Ось вращения — прямая, вокруг которой выполняется поворот. Она задаёт направление вращения и остаётся на месте во время всего движения. Зная ось, можно определить, какие точки неподвижны и какие окружности описывают остальные точки.
Фигура вращения — фигура, полученная при вращении плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости. При полном обороте все положения исходной фигуры образуют пространственную форму. Это понятие используют, чтобы описать способ получения знакомых геометрических тел.
Тело вращения — пространственная фигура, полученная вращением плоской фигуры; его границей может быть поверхность вращения. Например, вращение области полукруга даёт тело с внутренними точками, а вращение одной полуокружности создаёт только поверхность. Различие нужно, чтобы точно понимать, идёт ли речь о всём объёме фигуры или лишь о её границе.
При повороте точки, лежащие на оси, не перемещаются, а каждая точка вне оси движется по окружности. Центр этой окружности находится на оси, потому что расстояние от точки до оси при вращении сохраняется. Радиус траектории равен этому расстоянию: чем дальше точка от оси, тем больше окружность, которую она описывает.
Когда плоскую фигуру поворачивают вокруг оси на полный оборот, в пространстве оказываются все её положения. Область, которую занимает фигура, заполняется точками между траекториями её частей. Поэтому расположение оси важно: при изменении оси меняются расстояния точек до неё и, следовательно, форма полученного тела.
Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. Противоположная сторона находится на постоянном расстоянии от оси, поэтому при вращении описывает окружность. Две другие стороны проходят по кругам и образуют боковую поверхность; расстояние от оси до противоположной стороны задаёт радиус основания.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся неподвижным и становится осью конуса. Второй катет перпендикулярен оси, поэтому его конец описывает окружность, а сам катет задаёт радиус основания. Гипотенуза соединяет точки, удалённые от оси на разные расстояния, и при вращении образует боковую поверхность конуса.
Полукруг при вращении вокруг диаметра занимает точки по обе стороны от диаметра и заполняет шар. Если вращать не область полукруга, а только его дугу — полуокружность, — внутренние точки не заполняются. Каждая точка дуги описывает окружность, и совокупность этих окружностей составляет сферу, то есть поверхность шара.
| Тело | Плоская фигура | Ось вращения | Что образует боковую поверхность |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | Прямоугольник | Одна из сторон прямоугольника | Сторона, противоположная оси |
| Конус | Прямоугольный треугольник | Один из катетов | Гипотенуза |
| Шар | Полукруг | Диаметр полукруга | Полукруглая область при вращении заполняет шар |
| Сфера | Полуокружность | Диаметр полуокружности | Полуокружность |
Сначала найдите в таблице плоскую фигуру и ось, затем проследите, какие её части движутся и какие остаются на месте. Последний столбец показывает, что образует боковую поверхность или заполняет тело. Для шара и сферы в нём указано, что вращение создаёт соответственно всё тело или только его границу.
Задача 1. Прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см вращают вокруг стороны длиной 5 см. Какое тело получится и чему равен радиус его основания? Нужно определить, какая сторона остаётся неподвижной, и какую окружность описывает противоположная сторона.
Ответ: получится цилиндр радиусом основания 3 см. Длина 5 см задаёт его высоту, а не радиус, поскольку это длина самой оси.
Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают вокруг катета длиной 8 см. Назвать полученное тело и определить его радиус основания и высоту. Здесь важно сначала связать размеры треугольника с осью и окружностью основания.
Ответ: получится конус высотой 8 см и радиусом основания 6 см. Гипотенуза образует боковую поверхность, но для нахождения радиуса и высоты её длина не нужна.
Задача 3. Равнобедренный треугольник с основанием 10 см и высотой 12 см вращают вокруг высоты. Определить вид полученного тела, радиус основания и образующую. Ось проходит внутри треугольника, поэтому сначала нужно выяснить, на какие части она делит основание.
Ответ: получается конус радиусом основания 5 см, высотой 12 см и образующей 13 см. Образующая найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.
Ошибка — считать, что ось вращения обязательно совпадает со стороной плоской фигуры. Такое представление возникает из-за примеров с прямоугольником и прямоугольным треугольником, но ось может проходить и внутри фигуры. Проверьте условие: в задаче с равнобедренным треугольником осью служит высота, а не сторона.
Не следует называть тело вращения и поверхность вращения одним и тем же. Путаница появляется потому, что их границы имеют одинаковую форму. Чтобы проверить себя, спросите, описываются ли внутренние точки: полукруг заполняет шар, а его дуга образует сферу.
Длину оси нельзя автоматически принимать за радиус основания цилиндра или конуса. Её часто путают с радиусом, потому что обе величины являются размерами полученной фигуры. Проверьте роль отрезка: радиус — это расстояние от оси до точки, описывающей окружность, а длина вдоль оси задаёт высоту.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета не меняйте местами радиус и высоту конуса. Ошибка возникает, если не проследить, какая сторона остаётся неподвижной. Катет-ось является высотой, а второй катет перпендикулярно оси описывает окружность и задаёт радиус.
Для работы с вращением нужно знать, что такое окружность и радиус, уметь находить расстояние от точки до прямой и применять теорему Пифагора. Эти понятия позволяют определить размер траектории точки и вычислить элементы конуса, например его образующую. Поворот связан с изучаемыми в геометрии движениями и симметриями фигур. Фигуры вращения понадобятся при рассмотрении сечений, площадей поверхностей и объёмов пространственных тел.
Что называют поворотом вокруг прямой?
Это движение пространства, при котором точки вне прямой движутся по окружностям с центрами на этой прямой. Сама прямая при этом остаётся неподвижной и называется осью вращения.
Какие точки остаются неподвижными при повороте вокруг оси?
Неподвижными остаются все точки, лежащие на оси. Для них расстояние до оси равно нулю, поэтому при повороте им не по какой окружности двигаться.
Чем тело вращения отличается от поверхности вращения?
Тело вращения содержит внутренние точки и занимает некоторый объём. Поверхность вращения — только его граница, образованная траекториями точек вращаемой фигуры.
Какое тело получится при вращении прямоугольника вокруг его стороны?
Получится цилиндр. Сторона, вокруг которой вращают прямоугольник, задаёт высоту цилиндра, а противоположная сторона описывает окружность основания.
Почему при вращении полукруга получается шар, а полуокружности — сфера?
Точки полукруга при полном обороте заполняют все точки внутри шара, а точки полуокружности описывают только его границу. Поэтому результатом вращения полукруга является шар, а полуокружности — сфера.
§ 5. Поворот. Фигуры вращения
