"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углублённый уровни)", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Вписанный или описанный около пирамиды конус связывает свойства многогранника и круглого тела. В первом случае круг основания конуса помещён внутрь основания пирамиды, во втором его окружность проходит через вершины основания. Радиус конуса находят по вписанной или описанной окружности многоугольника, а высота при общей вершине и плоскости основания совпадает с высотой пирамиды. Эти связи помогают вычислять объём и площадь поверхности конуса.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный в пирамиду конус — конус, вершина которого совпадает с вершиной пирамиды, а круг основания вписан в основание пирамиды. Иначе говоря, круг лежит внутри многоугольника и касается его сторон. Это определение помогает связать радиус конуса с радиусом вписанной окружности многоугольника.
Описанный около пирамиды конус имеет общую с пирамидой вершину, а его основание содержит окружность, описанную около основания пирамиды. Значит, все вершины многоугольника основания лежат на окружности конуса. Такое описание позволяет находить радиус конуса по радиусу описанной окружности.
Прямой круговой конус — конус, ось которого перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр. Ось соединяет вершину с центром основания, а высота является перпендикуляром от вершины к плоскости основания. Это различие нужно учитывать: формулы с радиусом и образующей применяются к конусу, а для прямого конуса образующая связана с высотой теоремой Пифагора.
Чтобы построить конус, вписанный в пирамиду, сначала найдите центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Затем возьмите эту окружность как границу круга основания конуса и соедините центр круга с вершиной пирамиды. Плоскость основания конуса совпадает с плоскостью основания пирамиды, поэтому расстояние от общей вершины до этой плоскости одинаково для обоих тел. Следовательно, высоты конуса и пирамиды равны.
У описанного конуса окружность основания должна проходить через вершины основания пирамиды. Основание пирамиды — многоугольник, а конус должен описывать его, поэтому каждая вершина многоугольника располагается на окружности. Если окружность не проходит через вершины, конус не будет описан около пирамиды по данному определению. Значит, для построения нужна описанная окружность основания, а не произвольная окружность вокруг него.
Радиус основания вписанного конуса равен радиусу вписанной в многоугольник окружности: обе окружности имеют один и тот же центр и радиус. Для описанного конуса радиус равен радиусу окружности, проходящей через вершины многоугольника. Эти величины обычно находят по геометрическим свойствам основания — например, по стороне квадрата или правильного шестиугольника. После этого радиус можно подставлять в формулы объёма и площади конуса.
Если основание пирамиды — правильный многоугольник, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. У правильной пирамиды ось симметрии проходит через вершину и центр основания, поэтому она перпендикулярна плоскости основания. Построенный вокруг этой оси конус имеет ось, проходящую через центр своего круга основания, и потому является прямым круговым. Для произвольной пирамиды одного совпадения вершин недостаточно: направление оси нужно проверять отдельно.
Когда радиус и высота конуса известны, объём находят по формуле V = ⅓πr²h. Для боковой поверхности используют формулу Sбок = πrl, где l — образующая, то есть отрезок от вершины конуса до точки окружности основания. У прямого конуса радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, поэтому l = √(r² + h²). Так построение конуса превращается в вычислительную задачу: сначала определяют параметры по пирамиде, затем выбирают нужную формулу.
| Признак | Вписанный конус | Описанный конус |
|---|---|---|
| Положение вершины конуса | Совпадает с вершиной пирамиды | Совпадает с вершиной пирамиды |
| Связь основания конуса с основанием пирамиды | Круг вписан в многоугольник | Окружность проходит через вершины многоугольника |
| Радиус основания | Радиус вписанной окружности | Радиус описанной окружности |
| Связь высоты конуса с высотой пирамиды | Равны при общей вершине и плоскости основания | Равны при общей вершине и плоскости основания |
| Условие существования кругового конуса | В основание пирамиды можно вписать окружность | Около основания пирамиды можно описать окружность |
Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить, какая окружность связана с многоугольником: вписанная или описанная. Затем найдите соответствующий радиус и проверьте, совпадают ли плоскости оснований и вершины. Последняя проверка позволяет правильно перенести высоту пирамиды на конус.
Задача 1. В основание правильной четырёхугольной пирамиды со стороной 6 вписан конус. Найдите радиус его основания.
Ответ: 3.
Задача 2. В основание правильной шестиугольной пирамиды со стороной 4 вписан конус, высота пирамиды равна 9. Найдите объём конуса.
Ответ: 36π.
Задача 3. Около правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 6 описан конус. Найдите площадь его боковой поверхности.
Ответ: 8π√34.
Первая ошибка — перепутать вписанный и описанный конусы. Это случается, когда ориентируются только на то, что конус окружает или находится внутри пирамиды, но не проверяют окружность основания. Спросите себя: окружность касается сторон многоугольника или проходит через его вершины? Первый случай относится к вписанному конусу, второй — к описанному.
Вторая ошибка — принять сторону основания пирамиды за радиус конуса. Сторона — это отрезок между соседними вершинами многоугольника, а радиус идёт от центра окружности до её точки. Перед вычислениями нарисуйте или мысленно выделите центр окружности и определите нужное расстояние, например половину стороны квадрата или половину его диагонали.
Третья ошибка — без проверки считать конус прямым. Общая вершина пирамиды и конуса сама по себе этого не гарантирует: ось конуса должна быть перпендикулярна плоскости основания и проходить через центр круга. Проверьте, лежит ли проекция вершины на основание в центре окружности; для правильной пирамиды это выполняется благодаря симметрии.
Четвёртая ошибка — подставить высоту в формулу боковой поверхности вместо образующей. Высота опускается перпендикулярно на основание, а образующая соединяет вершину с точкой окружности; у прямого конуса они различны. Проверьте формулу: для боковой площади нужна величина l в выражении πrl, а если известны r и h, сначала найдите l = √(r² + h²).
Для изучения темы нужны определения пирамиды и конуса, а также свойства вписанных и описанных окружностей многоугольника. При вычислениях применяются формулы объёма и площади поверхности конуса и теорема Пифагора для нахождения образующей. Эти знания пригодятся в задачах на комбинации тел: конус может быть частью составной фигуры или заменять пирамиду при сравнении объёмов и площадей.
Чем вписанный конус отличается от описанного около пирамиды?
У вписанного конуса круг основания расположен внутри основания пирамиды и касается его сторон. У описанного конуса основание пирамиды вписано в окружность основания конуса: эта окружность проходит через все вершины многоугольника.
Можно ли вписать круговой конус в любую пирамиду?
Вписать конус можно, если в основание пирамиды удаётся вписать окружность; её круг станет основанием конуса. Чтобы конус был прямым, его ось должна проходить через центр круга перпендикулярно его плоскости. Для этого проекция вершины пирамиды на основание должна совпадать с центром окружности.
Как найти радиус основания вписанного конуса?
Найдите радиус окружности, вписанной в многоугольник основания пирамиды. Он и будет радиусом основания конуса. Например, у квадрата со стороной a этот радиус равен a/2.
Почему основание описанного конуса должно проходить через вершины пирамиды?
Основание пирамиды — многоугольник, а описанный около него конус должен охватывать его вершины окружностью. Поэтому вершины многоугольника лежат на окружности основания конуса. Радиус конуса равен радиусу этой описанной окружности.
Как найти образующую конуса, если известны его высота и радиус?
Для прямого кругового конуса высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора образующая l = √(h² + r²), где h — высота, r — радиус основания. Образующая понадобится, например, для вычисления боковой поверхности.
§ 6. Вписанные и описанные конусы
