§ 8. Вписанные и описанные конусы

Определения и обозначения

Конус, вписанный в шар, — конус, вершина и все точки окружности его основания которого лежат на сфере. Иначе говоря, сфера проходит через вершину и окружность основания, а сам конус находится внутри шара. Это определение помогает понять, какие расстояния в задаче равны радиусу шара.

Шар, описанный около конуса, — шар, поверхность которого проходит через вершину конуса и окружность его основания. Такое название относится к шару, содержащему конус, а не к конусу, окружающему шар. Оно удобно, когда нужно связать радиус шара с высотой и радиусом основания конуса.

Шар, вписанный в конус, — шар, касающийся боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Касание означает, что расстояние от центра шара до каждой из этих поверхностей равно радиусу шара. Это позволяет свести поиск радиуса к расстояниям в осевом сечении.

Конус, описанный около шара, — конус, боковая поверхность и основание которого касаются шара. Он охватывает шар, а не лежит внутри него. Это понятие полезно, когда известен шар и требуется определить размеры конуса, которому он касается.

Как это устроено

В осевом сечении прямого кругового конуса плоскость проходит через его ось, поэтому получается равнобедренный треугольник: его боковые стороны — образующие, а основание — диаметр основания конуса. Сечение шара той же плоскостью даёт окружность. Центр шара лежит на оси, потому что у прямого конуса ось является линией симметрии, а расстояния от центра шара до симметричных сторон должны быть одинаковыми. Поэтому пространственные условия можно исследовать в одной плоскости.

У конуса, вписанного в шар, вершина и окружность основания находятся на сфере, поэтому расстояние от центра шара до вершины равно расстоянию до любой точки окружности основания. В осевом сечении можно обозначить высоту конуса h, радиус основания r, радиус шара R и расстояние от его центра до плоскости основания. Отрезок от центра шара до точки окружности основания вместе с этим расстоянием образует прямоугольный треугольник, а его гипотенуза равна R. Равенство расстояний до вершины и основания даёт дополнительную связь, позволяющую вычислить неизвестные величины.

Если шар вписан в конус, его центр находится на оси, поскольку шар должен касаться основания и боковой поверхности симметрично. Расстояние от центра до плоскости основания — перпендикуляр, и оно равно радиусу шара. В осевом сечении расстояние от центра до образующей тоже должно быть таким же: кратчайшее расстояние от точки до прямой всегда измеряется по перпендикуляру. Значит, в сечении окружность касается основания и обеих боковых сторон треугольника.

При рассмотрении конуса, описанного около шара, осевое сечение превращает задачу в поиск вписанной окружности равнобедренного треугольника. Радиус шара равен радиусу этой окружности, потому что она касается основания и боковых сторон сечения. Радиус вписанной окружности треугольника можно найти по формуле ρ = S/p, где S — площадь, а p — полупериметр. Причина такой формулы в том, что треугольник разбивается на три треугольника с общей высотой ρ, проведённой к его сторонам.

Решая задачи на комбинации шара и конуса, сначала выясняют, какая фигура вписана, а какая описана, и отмечают точки касания или точки на сфере. Затем строят осевое сечение и переводят исходное условие в равенства для треугольника и окружности. В половине сечения часто получается прямоугольный треугольник с катетами h и r и гипотенузой l, поэтому применима теорема Пифагора: h² + r² = l². Такой порядок помогает не подменить радиус основания диаметром или не принять касание за прохождение через точку.

Взаимное расположение конуса и шара

Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить тип взаимного расположения тел и нужные равенства. Затем перенеси эти условия в осевое сечение: для вписанного в шар конуса сравнивают расстояния до вершины и окружности основания, а для вписанного в конус шара рассматривают касания. Таблица помогает выбрать подходящий способ, но вычисления всё равно нужно обосновать чертежом или геометрическими соотношениями.

Разбор задач

Задача 1. В шар радиуса 5 вписан конус высотой 8. Найдите радиус основания конуса. Условия говорят, что вершина и окружность основания лежат на сфере. Поэтому центр шара находится на оси, и расстояние до вершины можно сравнить с радиусом шара.

1. Обозначим через O центр шара, а через r радиус основания конуса. Высота конуса равна 8, радиус шара — 5. Центр шара расположен внутри отрезка оси между основанием и вершиной: расстояние от вершины до O равно 5, поэтому расстояние от основания до O равно 8 − 5 = 3.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты — расстояние 3 от O до плоскости основания и радиус r основания конуса. Гипотенуза соединяет O с точкой окружности основания, лежащей на сфере, поэтому она равна 5.
3. По теореме Пифагора r² + 3² = 5². Тогда r² = 25 − 9 = 16, откуда r = 4. Отрицательное значение радиуса не подходит.

Ответ: радиус основания конуса равен 4.

Задача 2. В конус с радиусом основания 6 и высотой 8 вписан шар. Найдите радиус шара. В осевом сечении конус превращается в равнобедренный треугольник, а шар — в окружность, касающуюся его сторон. Радиус этой окружности и будет искомым радиусом шара.

1. Основание осевого треугольника равно диаметру основания конуса, то есть 2 · 6 = 12. Его высота равна 8. Каждая боковая сторона, или образующая, равна √(6² + 8²) = 10 по теореме Пифагора.
2. Площадь треугольника равна ½ · 12 · 8 = 48. Его полупериметр равен (12 + 10 + 10)/2 = 16. Площадь треугольника также равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.
3. Значит, радиус шара равен ρ = 48/16 = 3. Проверка: расстояние от центра окружности до каждой стороны треугольника одинаково, поэтому окружность касается и основания, и боковых сторон.

Ответ: радиус шара равен 3.

Задача 3. Шар радиуса 3 вписан в прямой круговой конус, образующая которого равна 10. Требуется найти высоту и радиус основания. Однако до вычислений полезно проверить, возможен ли такой конус: в половине осевого сечения его радиус вписанной окружности ограничен размерами прямоугольного треугольника.

1. Пусть r — радиус основания, h — высота. Половина осевого сечения — прямоугольный треугольник с катетами r и h и гипотенузой 10, так что r² + h² = 100.
2. Радиус окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник, равен (r + h − 10)/2. Это тот же радиус шара: окружность в половине сечения касается катета, соответствующего основанию, и гипотенузы, соответствующей образующей.
3. При фиксированной гипотенузе 10 сумма катетов не больше 10√2, причём равенство достигается при r = h. Поэтому радиус вписанной окружности не больше (10√2 − 10)/2 = 5(√2 − 1), что меньше 3. Условие противоречит этому ограничению, значит, такого конуса не существует.

Ответ: конуса с указанными параметрами не существует; высоту и радиус основания найти нельзя.

Типичные ошибки

Первая ошибка — путать конус, вписанный в шар, с шаром, вписанным в конус. Это происходит из-за похожих слов в названиях, хотя условия разные: в первом случае точки конуса лежат на сфере, во втором поверхности конуса касаются шара. Проверь себя вопросом: нужно искать точки на поверхности шара или места касания?

Вторая ошибка — считать, что центр шара обязательно находится в вершине или центре основания конуса. В прямом круговом конусе центр шара лежит на оси, но обычно не совпадает с этими точками; вероятно, путаница возникает из-за того, что ось служит линией симметрии. Проверь положение центра по расстояниям, которые задаёт условие, а не назначай его без обоснования.

Третья ошибка — подставлять в осевое сечение радиус основания вместо его диаметра. Осевое сечение проходит через весь круг основания, поэтому его ширина равна 2r, а не r. Чтобы проверить себя, отметь на сечении оба края окружности и убедись, что отрезок между ними содержит два радиуса.

Четвёртая ошибка — искать радиус вписанного шара как расстояние до вершины конуса. Обычно забывают, что шар касается боковой поверхности, а радиус к поверхности проводят перпендикулярно; отрезок к вершине таким перпендикуляром не является. Проверь себя: радиус должен измерять кратчайшее расстояние от центра до основания и до образующей, а в сечении окружность должна касаться сторон треугольника.

Связь с другими темами

Для работы с конусами нужно знать его элементы: основание, ось, высоту и образующую, а также свойства шара и смысл расстояния от точки до прямой. Теорема Пифагора связывает радиус основания, высоту и образующую в прямоугольном треугольнике. Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр помогает находить радиус шара по осевому сечению. Эти приёмы пригодятся в задачах на комбинации тел и при вычислении объёмов и площадей поверхностей конуса и шара.

Что запомнить

• Вписанный в шар конус имеет вершину и окружность основания на поверхности сферы.
• У прямого кругового конуса центр вписанного или описанного шара лежит на оси конуса.
• Осевое сечение превращает задачу о конусе и шаре в задачу о треугольнике и окружности.
• Радиус шара, вписанного в конус, равен расстоянию от его центра до основания и боковой поверхности.
• Перед вычислениями нужно точно определить, какие поверхности касаются шара, а какие точки лежат на сфере.