§ 7*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс

Определения и обозначения

Сечение цилиндра плоскостью — фигура, полученная при пересечении цилиндра с плоскостью. В зависимости от положения плоскости и от того, какие части цилиндра она пересекает, сечение может иметь разную форму. Это определение помогает сначала представить фигуру пересечения, а уже затем выбирать способ вычисления её размеров.

Эллипс — замкнутая плоская кривая, которая, в частности, получается при наклонном сечении боковой поверхности кругового цилиндра. Он похож на растянутый круг, но его размеры в двух направлениях различаются. Понятие эллипса нужно, чтобы описывать наклонные сечения и находить их площадь.

Большая и малая полуоси эллипса — половины его наибольшего и наименьшего диаметров. Их обычно обозначают a и b, причём a ≥ b. Полуоси определяют форму эллипса, а их произведение используется при вычислении площади: S = πab.

Круговое сечение цилиндра — сечение плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра. У прямого кругового цилиндра такая плоскость параллельна основаниям, поэтому сечение — круг радиуса R, равного радиусу основания. Это позволяет сразу применять формулу площади круга: S = πR².

Как это устроено

Форма сечения определяется взаимным расположением плоскости и оси цилиндра. Если плоскость перпендикулярна оси, она пересекает цилиндр поперёк; если параллельна — идёт вдоль него. В остальных случаях плоскость наклонена к оси, и граница сечения зависит от наклона и места пересечения с телом. Поэтому до вычислений полезно мысленно проследить, как плоскость проходит через основания и боковую поверхность.

В прямом круговом цилиндре основания лежат в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси. Плоскость, перпендикулярная оси, параллельна обеим плоскостям оснований. Её пересечение с цилиндром — круг: при движении вдоль оси поперечные круговые сечения имеют один и тот же радиус R. Значит, площадь такого сечения равна πR².

Плоскость, параллельная оси, пересекает боковую поверхность вдоль двух образующих — отрезков, параллельных оси. В каждом основании она отсекает одну и ту же хорду, потому что основания равны и параллельны. Если плоскость пересекает оба основания, эти отрезки и хорды образуют прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, другая — длине хорды.

При наклонном положении сечения боковая поверхность пересекается по замкнутой кривой, если плоскость проходит так, что граница не обрывается на основаниях. Такая кривая является эллипсом: наклон растягивает круговое сечение в одном направлении. Если угол α между плоскостью сечения и основанием, малая полуось равна R, а большая — R/cos α. При α = 0 плоскости параллельны, и обе полуоси равны R; с ростом α большая полуось увеличивается.

По чертежу сначала определяют ориентацию плоскости относительно оси, затем проверяют, какие части цилиндра она пересекает. Для прямоугольника нужны высота цилиндра и хорда основания, для круга — радиус, для эллипса — обе полуоси. Если плоскость параллельна оси и отстоит от неё на d, хорду можно найти по прямоугольному треугольнику: её длина равна 2√(R² − d²). После определения формы и размеров выбирают формулу площади нужной фигуры.

Сечения прямого кругового цилиндра плоскостью

Пользуйся таблицей в таком порядке: сначала сопоставь плоскость с осью, затем установи форму сечения. После этого выпиши из условия или найди по рисунку необходимые размеры. Для наклонного сечения уточни, к какой плоскости дан угол.

Разбор задач

1. Круговое сечение

Плоскость проходит через цилиндр перпендикулярно его оси. Радиус основания равен 4. Требуется найти площадь сечения. Так как поперечное сечение прямого кругового цилиндра — круг того же радиуса, высота цилиндра в вычислении не понадобится.

1. Определяем форму: сечение круговое.
2. Записываем формулу площади круга: S = πR².
3. Подставляем R = 4: S = π · 4² = 16π.

Ответ: 16π квадратных единиц.

2. Сечение параллельно оси

Плоскость параллельна оси цилиндра, расстояние от неё до оси равно 3, радиус основания равен 5, высота цилиндра — 8. Сечение, если плоскость проходит через цилиндр и пересекает оба основания, является прямоугольником. Его ширина не обязана равняться диаметру: она определяется хордой основания на расстоянии 3 от центра.

1. Рассматриваем радиус, перпендикуляр от центра основания к хорде и половину хорды. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 3.
2. Находим половину хорды: √(5² − 3²) = √16 = 4. Значит, ширина сечения равна 2 · 4 = 8.
3. Вторую сторону прямоугольника составляет высота цилиндра 8. Площадь равна 8 · 8 = 64.

Ответ: 64 квадратные единицы.

3. Наклонное сечение

Плоскость образует с плоскостью основания угол α и высекает эллипс. Радиус основания равен R. Требуется выразить полуоси через R и α. Здесь важно, что угол задан именно к основанию: при наклоне круговое сечение растягивается в направлении наклона, а поперечный размер остаётся равен радиусу.

1. Малая полуось эллипса равна радиусу основания: b = R.
2. Рассматриваем сечение в направлении наибольшего растяжения. Его горизонтальная проекция равна R, а длина наклонного отрезка связана с проекцией соотношением R = a cos α.
3. Выражаем большую полуось: a = R/cos α. При α = 0 получаем a = b = R, что соответствует кругу.

Ответ: малая полуось b = R, большая полуось a = R/cos α; площадь эллипса S = πR²/cos α.

Типичные ошибки

Считать любое сечение кругом. Такая ошибка возникает из-за того, что основания цилиндра круговые. Но круг получается только при сечении плоскостью, перпендикулярной оси; наклонное сечение боковой поверхности может быть эллипсом. Проверь себя, сопоставив направление плоскости с осью цилиндра.

Путать угол плоскости с осью и угол с основанием. Эти углы дополняют друг друга до 90°, поэтому подстановка одного вместо другого меняет значение косинуса и результат для полуоси. Ошибку часто допускают, не отмечая, между какими именно объектами измерен угол. Перед формулой подпиши угол на схеме и проверь его определение.

Брать диаметральную ширину для сечения, параллельного оси. Диаметр подходит только для плоскости, проходящей через ось; в остальных случаях ширина равна хорде на расстоянии от центра. Путаница появляется, если мысленно считать боковой разрез всегда центральным. Найди расстояние от оси до плоскости и используй прямоугольный треугольник для вычисления хорды.

Называть любое наклонное пересечение эллипсом. У конечного цилиндра плоскость может пересечь основание, и тогда граница сечения не будет замкнутой кривой на боковой поверхности. Ошибка возникает, если не учитывать границы самого тела. Проверь, что плоскость пересекает боковую поверхность по замкнутой линии и что сечение целиком соответствует рассматриваемому эллипсу.

Связь с другими темами

Для работы с сечениями нужно знать, что такое цилиндр, ось, образующая и основания, а также свойства круга и хорды. При вычислениях длины хорды применяются теорема Пифагора и формулы площади круга и прямоугольника; для эллипса используется площадь S = πab. Разбор наклонного сечения опирается на углы между плоскостями и на проекции отрезков. Эти знания понадобятся в задачах на площади сечений тел, при изучении эллипса и в задачах об объёмных телах.

Что запомнить

• Сечение цилиндра зависит от положения секущей плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная оси прямого кругового цилиндра, даёт круг.
• Сечение плоскостью, параллельной оси, при пересечении обоих оснований является прямоугольником.
• Наклонное замкнутое сечение боковой поверхности кругового цилиндра — эллипс.
• Полуоси эллипса — половины его наибольшего и наименьшего диаметров.
• Перед вычислениями точно определи, какой угол задан: с осью или с основанием.