"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Фигуры вращения возникают, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой — оси, лежащей в её плоскости. Так получают цилиндр, конус, сферу и шар. Положение оси определяет форму тела, а расстояния до неё помогают найти радиус, высоту и другие элементы. Эти представления нужны, чтобы распознавать тела в пространстве, исследовать их сечения и в дальнейшем вычислять площади поверхностей и объёмы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Фигура вращения — тело или поверхность, полученная вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоскости. Эту прямую называют осью вращения. Такое определение помогает представить, как плоская фигура «заметает» пространство, и понять, почему положение оси влияет на результат.
Цилиндр — фигура вращения, полученная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сторона, вокруг которой идёт вращение, задаёт направление и высоту цилиндра, а расстояние до противоположной стороны становится радиусом основания. Это удобно для распознавания элементов цилиндра в задачах.
Конус — фигура вращения, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Катет-ось становится высотой, другой катет задаёт радиус основания, а гипотенуза образует боковую поверхность. Такое соответствие позволяет переносить данные о треугольнике на элементы конуса.
Сфера — поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — тело, ограниченное этой сферой. При вращении дуги получается только поверхность, при вращении всей области полукруга заполняется и внутренность. Различие нужно учитывать, когда говорят о сечениях или о том, какая именно фигура образована.
Плоская фигура вращается вокруг прямой, которую называют осью. Каждая её точка, не лежащая на оси, движется по окружности с центром на этой прямой; радиус такой окружности равен расстоянию от точки до оси. Поэтому фигура в пространстве зависит не только от исходного контура, но и от выбранной оси. Точки самой оси остаются неподвижными.
Когда прямоугольник вращается вокруг стороны, каждая точка противоположной стороны описывает окружность. Точки, расположенные между двумя сторонами, описывают окружности меньших радиусов, заполняя круги, а вся фигура образует цилиндр. Две стороны прямоугольника, перпендикулярные оси, при вращении дают основания; расстояние между ними равно длине стороны-оси. Другая сторона задаёт радиус этих оснований.
У прямоугольного треугольника вращение вокруг катета оставляет этот катет неподвижным, а второй катет вращается вокруг него и заметает круг. Гипотенуза при этом проходит по боковой поверхности, соединяя вершину с окружностью основания, поэтому она становится образующей конуса. Катет на оси задаёт высоту, а длина второго катета — радиус. Именно прямой угол между катетами обеспечивает прямой круговой конус с осью, перпендикулярной основанию.
Основания цилиндра и конуса возникают потому, что отрезки, перпендикулярные оси, при вращении описывают круги. У конуса один круг основания, а другой конец оси — вершина; у цилиндра есть два одинаковых основания. Ось проходит через центры этих кругов, высота измеряется вдоль оси, а образующая описывает боковую поверхность. Радиус основания измеряют от его центра до окружности.
Если плоскость перпендикулярна оси цилиндра или конуса, её точки пересечения с телом находятся на одинаковом расстоянии от оси. Поэтому сечение имеет форму круга; у конуса радиус сечения меняется в зависимости от положения плоскости. Плоскость, пересекающая сферу, отсекает окружность, потому что все её точки равноудалены от центра сечения. У шара та же плоскость ограничивает круг, внутренняя часть которого принадлежит телу.
| Свойство | Цилиндр | Конус | Сфера и шар |
|---|---|---|---|
| Плоская фигура, которую вращают | Прямоугольник | Прямоугольный треугольник | Полуокружность или полукруг |
| Ось вращения | Сторона прямоугольника | Катет треугольника | Диаметр окружности |
| Основные элементы | Два основания, ось, высота, радиус, образующая | Основание, вершина, ось, высота, радиус, образующая | Центр, радиус, поверхность сферы |
Читайте строки таблицы слева направо: сначала определите исходную плоскую фигуру и ось, затем сопоставьте им элементы полученного тела. Так проще не перепутать радиус с высотой и понять, откуда берётся образующая. Для сферы и шара отдельно учитывайте, вращается ли только полуокружность или вся область полукруга.
Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращают вокруг стороны длиной 7 см. Нужно назвать полученную фигуру и определить её радиус и высоту. Сначала находим, какая сторона стала осью, а затем сопоставляем оставшуюся сторону радиусу основания.
Ответ: цилиндр, радиус 4 см, высота 7 см. Полезная проверка: высота направлена вдоль оси вращения, а радиус перпендикулярен ей. Если поменять ось на сторону длиной 4 см, элементы поменяются ролями.
Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращают вокруг катета длиной 8 см. Требуется найти радиус, высоту и образующую конуса. Здесь сначала важно правильно определить ось, иначе радиус и высота будут перепутаны.
Ответ: радиус 6 см, высота 8 см, образующая 10 см. Проверяем: образующая должна быть длиннее каждого катета, поскольку она является гипотенузой. Полученное значение удовлетворяет этому условию.
Сечение шара плоскостью находится на расстоянии 5 см от его центра, радиус сечения равен 12 см. Нужно найти радиус шара. Радиус шара, расстояние до плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник: радиус сечения перпендикулярен расстоянию от центра до плоскости.
Ответ: радиус шара равен 13 см. Проверка показывает, что радиус шара больше радиуса сечения, поскольку от центра до секущей плоскости добавляется ненулевое расстояние. Если плоскость проходила бы через центр, сечение имело бы радиус, равный радиусу шара.
Сферу называют шаром или наоборот, хотя сфера — только поверхность, а шар включает внутреннюю область. Путаница возникает потому, что в речи названия нередко употребляют как синонимы. Проверяйте себя вопросом: речь идёт о границе или обо всём теле вместе с внутренностью?
Образующую цилиндра принимают за радиус или высоту. Такое случается, если смотреть только на рисунок и не учитывать положение отрезка: образующая идёт вдоль боковой поверхности, параллельно оси. У цилиндра её длина равна высоте, а радиус лежит в плоскости основания.
Считают, что вращение любого треугольника вокруг стороны создаёт конус нужного вида. Для прямого кругового конуса в этом определении вращают именно прямоугольный треугольник вокруг катета; при другой фигуре или оси результат может отличаться. Перед решением проверьте, какой угол прямой и совпадает ли ось с катетом.
Радиус и высоту определяют по тому, как фигура нарисована на листе, а не по оси вращения. Из-за перспективы направление отрезков на рисунке может вводить в заблуждение. Отметьте ось: сторона или катет на ней задаёт высоту, а перпендикулярное расстояние от оси до края — радиус.
Для понимания фигур вращения нужны знания о плоских фигурах, окружности и круге, а также теорема Пифагора. Понятие оси помогает описывать вращение, а сечение показывает, какую фигуру плоскость выделяет в пространственном теле. Эти сведения связывают знакомую геометрию на плоскости с цилиндром, конусом и шаром, их высотами, радиусами и образующими. Позже они пригодятся при изучении площадей поверхностей, объёмов тел вращения и сечений пространственных фигур.
Чем сфера отличается от шара?
Сфера — это поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает эту поверхность и всё пространство внутри неё.
Почему при вращении прямоугольника получается именно цилиндр?
При повороте прямоугольника вокруг одной из его сторон противоположная сторона описывает окружность. Остальные точки прямоугольника образуют круги, а вместе они заполняют цилиндр.
Какая сторона треугольника становится высотой конуса?
Высотой конуса становится катет, вокруг которого вращают прямоугольный треугольник. Другой катет задаёт радиус основания.
Что называют образующей цилиндра и конуса?
У цилиндра образующая — отрезок на боковой поверхности, параллельный оси и соединяющий окружности оснований; её длина равна высоте. У конуса образующая соединяет вершину с точкой окружности основания.
Каким будет сечение фигуры вращения плоскостью, перпендикулярной оси?
У цилиндра и конуса такое сечение является кругом, если плоскость пересекает тело. У сферы сечение плоскостью — окружность, а у шара сечение представляет собой круг.
§ 30. Фигуры вращения
