"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Цилиндр и конус — геометрические тела, которые можно получить вращением плоских фигур. У цилиндра два равных основания-круга, а у конуса — одно основание и вершина. Чтобы описывать и сравнивать эти тела, используют радиус основания, высоту и образующую. Осевое сечение помогает увидеть их форму, а связь l² = h² + r² позволяет находить образующую конуса. Эти понятия нужны для вычисления площадей и объёмов, а также для решения задач о телах вращения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и соединяющей их боковой поверхностью. Эти круги называются основаниями, а прямая через их центры — осью цилиндра. Основания показывают, какую форму имеет тело на концах, а ось помогает описать его расположение и построить осевое сечение.
Конус — тело, ограниченное кругом-основанием и боковой поверхностью, которая сходится в одной точке — вершине. Отрезок от вершины до центра основания задаёт ось прямого кругового конуса. Вершина и круговое основание отличают конус от цилиндра и помогают установить, какие отрезки образуют его боковую поверхность.
Высота цилиндра — перпендикулярное расстояние между плоскостями его оснований, а высота конуса — перпендикуляр от вершины до плоскости основания. Обычно высоту обозначают h, радиус основания — r. Перпендикулярность важна: только так задаётся кратчайшее расстояние до плоскости, с которым связаны размеры и объёмы тел.
Образующая — отрезок, лежащий на боковой поверхности и соединяющий её характерные точки. У цилиндра образующие параллельны оси, а у прямого кругового конуса каждая образующая соединяет вершину с точкой окружности основания; её часто обозначают l. Образующая нужна, чтобы описывать наклонную боковую поверхность и находить её размеры.
Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, эта сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. Противоположная сторона описывает окружность, а две другие стороны при вращении образуют круги-основания. Поэтому основания получаются равными: каждая точка прямоугольника вращается на одинаковое расстояние от оси, а обе окружности имеют один радиус. Боковые стороны прямоугольника описывают образующие.
У цилиндра образующие параллельны оси, потому что они получаются вращением сторон, параллельных оси вращения. Каждая образующая перпендикулярна плоскостям оснований и соединяет их, поэтому её длина равна расстоянию между этими плоскостями. Это расстояние и есть высота цилиндра. Так объясняется равенство образующей и высоты, а не просто запоминается как свойство.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов этот катет становится осью конуса, второй катет описывает круг-основание, а гипотенуза — боковую поверхность. Получается прямой круговой конус: его ось перпендикулярна плоскости основания, а высота идёт от вершины к центру основания. Другой катет задаёт радиус основания. Гипотенуза становится образующей и наклонена к основанию.
Осевое сечение — сечение плоскостью, проходящей через ось тела. У цилиндра эта плоскость пересекает каждое основание по диаметру, а боковую поверхность — по двум образующим, поэтому в сечении получается прямоугольник со сторонами 2r и h. У прямого кругового конуса плоскость проходит через вершину и диаметр основания. Две стороны сечения — равные образующие, а третья — диаметр, поэтому получается равнобедренный треугольник.
Радиус основания, высота и образующая прямого кругового конуса образуют прямоугольный треугольник. Высота перпендикулярна плоскости основания, значит, она перпендикулярна и радиусу, проведённому от центра к точке окружности. Образующая соединяет вершину с этой точкой и становится гипотенузой. По теореме Пифагора l² = h² + r², поэтому l = √(h² + r²).
| Характеристика | Цилиндр | Конус |
|---|---|---|
| Основания | Два равных круга в параллельных плоскостях | Один круг |
| Ось и высота | Ось проходит через центры оснований; высота — расстояние между их плоскостями | Ось идёт от вершины к центру основания; высота перпендикулярна основанию |
| Боковая поверхность | Соединяет окружности оснований | Сходится в вершине |
| Образующая | Параллельна оси и равна высоте | Соединяет вершину с точкой окружности основания |
| Форма осевого сечения | Прямоугольник | Равнобедренный треугольник |
| Объём | V = πr²h | V = ⅓πr²h |
Сначала определите, какое тело описано, а затем найдите нужную строку: таблица сопоставляет элементы, сечения и формулы объёма. В задачах обозначения r и h относятся к радиусу основания и высоте; у конуса образующая l не заменяет высоту. Формулы объёмов удобны для сравнения тел с одинаковыми основаниями и высотами.
Задача 1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, высота — 5 см. Найдите диагональ его осевого сечения. Сначала определим форму сечения, чтобы выбрать подходящий способ вычисления. Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора.
Ответ: √61 см.
Задача 2. Радиус основания прямого кругового конуса равен 5 см, высота — 12 см. Найдите образующую. Поскольку конус прямой, высота попадает в центр основания и перпендикулярна радиусу. Значит, можно применить теорему Пифагора к треугольнику из высоты, радиуса и образующей.
Ответ: 13 см.
Задача 3. Осевое сечение прямого кругового конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите радиус основания, высоту и объём конуса. Стороны осевого сечения дают образующую и диаметр основания, а высота конуса является высотой этого треугольника. Так мы найдём все данные, необходимые для формулы объёма.
Ответ: r = 5 см, h = 5√3 см, V = 125√3π/3 см³.
Принимать наклонный отрезок на боковой поверхности за высоту цилиндра. Такую ошибку допускают, когда ориентируются только на видимый наклон линии на рисунке. Высота определяется перпендикулярным расстоянием между плоскостями оснований, а образующая прямого цилиндра этому направлению параллельна. Проверьте себя: отрезок высоты должен быть перпендикулярен плоскости основания.
Путать радиус основания конуса с диаметром его осевого сечения. Осевое сечение проходит через центр основания, поэтому его сторона по основанию равна диаметру 2r, а не радиусу r. Путаница возникает, если не различать круг и его сечение плоскостью. Проверка проста: от центра основания до края — r, от одного края до другого через центр — 2r.
Приравнивать образующую конуса высоте. Такое неверное равенство может показаться естественным, если представить конус без бокового наклона. Но образующая наклонена, а высота перпендикулярна основанию, поэтому они являются разными сторонами прямоугольного треугольника и l² = h² + r². Сверьте результат с этим соотношением: при ненулевом радиусе образующая длиннее высоты.
Называть любое сечение через вершину осевым. Плоскость может проходить через вершину, но не через ось конуса, и тогда полученное сечение не обязано быть равнобедренным. Ошибка появляется, когда учитывают вершину, но забывают проверить положение плоскости. Чтобы убедиться, что сечение осевое, проверьте: проходит ли его плоскость одновременно через ось конуса и центр основания.
Для изучения цилиндра и конуса понадобятся знания о круге и окружности: нужно различать радиус и диаметр, находить длины сторон и площадь основания. Также важно понимать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости, и уметь применять теорему Пифагора. Эти знания позволяют находить высоту или образующую по другим элементам.
Позже свойства цилиндра и конуса используются при вычислении площадей поверхностей и объёмов тел вращения. Они также помогают решать задачи, в которых несколько пространственных тел соединены или одно вписано в другое. В таких задачах геометрические элементы связывают с помощью сечений и прямоугольных треугольников.
Чем цилиндр отличается от призмы?
У призмы основания — многоугольники, а боковая поверхность состоит из плоских параллелограммов. У цилиндра основания — круги, а боковая поверхность искривлённая; его можно представить как тело, полученное вращением прямоугольника.
Почему образующая цилиндра равна его высоте?
Образующая прямого цилиндра соединяет соответствующие точки окружностей оснований и параллельна оси. Поскольку основания лежат в параллельных плоскостях, такой отрезок перпендикулярен им и равен расстоянию между плоскостями, то есть высоте.
Как найти образующую конуса, если известны радиус и высота?
В прямом круговом конусе радиус основания, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора l = √(r² + h²).
Как выглядит осевое сечение цилиндра и конуса?
У цилиндра осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2r и h. У прямого кругового конуса это равнобедренный треугольник: его основание равно 2r, а боковые стороны — образующие.
Почему объём конуса составляет треть объёма цилиндра с теми же основанием и высотой?
Для тел с одинаковыми площадью основания и высотой объём конуса равен одной трети объёма цилиндра. Поэтому V конуса = ⅓πr²h, тогда как V цилиндра = πr²h. Это соотношение можно доказать сравнением объёмов тел, например методом неделимых.
§ 29. Цилиндр, конус
