11.3. Длина окружности (продолжение)

Определения и обозначения

Длина окружности — длина замкнутой линии, ограничивающей круг. Её обычно обозначают буквой C. Она показывает, какое расстояние нужно пройти вдоль окружности, и измеряется единицами длины: например, сантиметрами или метрами.

Число π — отношение длины окружности к её диаметру. Это отношение одинаково у всех окружностей, поэтому π служит постоянным числом; при обычных вычислениях берут приближение π ≈ 3,14. Оно связывает размеры окружности с её длиной.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Две точки делят окружность на две дуги, а центральный угол помогает указать, какую из них рассматривают. Это нужно, чтобы отличать участок окружности от всей линии.

Длина дуги — длина части окружности, соответствующей определённому центральному углу. Её можно найти, если известны радиус окружности и градусная мера угла. Значение показывает расстояние вдоль дуги, а не величину угла.

Как это устроено

У окружностей могут быть разные радиусы и разные длины, но отношение длины к диаметру у них одно и то же. Если увеличить все размеры окружности, например вдвое, то и диаметр, и длина увеличатся вдвое, поэтому их отношение не изменится. Эту постоянную величину назвали числом π. Так можно описывать любую окружность одним числом, не измеряя каждую отдельно.

По определению π = C / d, где C — длина окружности, а d — диаметр. Умножив обе части равенства на d, получим C = πd. Поскольку диаметр вдвое больше радиуса, d = 2R, вместо диаметра можно подставить 2R: C = π · 2R = 2πR. Поэтому выбирают формулу с той величиной, которая дана в задаче.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности; его стороны проходят через точки окружности. Угол 360° соответствует полному обороту и всей окружности. Если центральный угол меньше, он задаёт меньшую часть полного оборота, а значит, и дуга занимает такую же долю окружности. Например, угол 90° в четыре раза меньше 360°, поэтому его дуга составляет четверть окружности.

Обозначим градусную меру центрального угла буквой n, а длину дуги — l. Доля дуги от всей окружности равна доле её угла от полного угла: l / C = n / 360°. Отсюда l = C · n / 360°. Подставляя C = 2πR, получаем l = 2πR · n / 360° = πRn / 180°. Эта формула подходит, когда известны радиус и центральный угол.

Перед вычислением нужно проверить, что именно дано: радиус или диаметр. Если известен диаметр, его можно сразу подставить в C = πd, а для формулы с радиусом сначала разделить его пополам. Радиус и диаметр должны быть выражены в одинаковых единицах, а ответ получится в тех же единицах. Если требуется перевести сантиметры в метры, переводят результат отдельно: 100 см = 1 м.

Длина окружности и дуги

В таблице C означает длину окружности, R — радиус, d — диаметр, l — длину дуги, а n° — центральный угол в градусах. Сначала найдите строку, соответствующую искомой величине, затем проверьте, какие данные нужны для формулы. Для полуокружности и четверти можно взять общую формулу дуги или сразу использовать указанную долю.

Разбор задач

Длина окружности по радиусу

Найдите длину окружности радиуса 5 см, принимая π ≈ 3,14. Известен радиус, поэтому подходит формула C = 2πR. Подстановка радиуса даст длину в сантиметрах, поскольку R измерен в сантиметрах. В конце округлять результат не нужно: π уже заменено приближённым значением.

1. Записываем формулу для радиуса: C = 2πR.
2. Подставляем данные: C ≈ 2 · 3,14 · 5 см.
3. Выполняем умножение: 2 · 3,14 · 5 = 31,4.

Ответ: 31,4 см. Проверка: длина должна быть больше диаметра, который равен 10 см; полученное значение этому условию соответствует.

Длина дуги по центральному углу

Найдите длину дуги окружности радиуса 12 см, если её центральный угол равен 60°. Угол 60° составляет 60 / 360 = 1 / 6 полного угла, поэтому дуга равна одной шестой всей окружности. Сначала можно найти длину полной окружности, а затем взять от неё нужную долю. Такой способ наглядно показывает, почему угол делят на 360°.

1. Находим длину всей окружности: C ≈ 2 · 3,14 · 12 = 75,36 см.
2. Определяем долю дуги: 60 / 360 = 1 / 6.
3. Вычисляем длину дуги: l ≈ 75,36 · 1 / 6 = 12,56 см.

Ответ: примерно 12,56 см. Результат меньше длины всей окружности, как и должно быть для дуги с углом меньше 360°.

Путь колеса за несколько оборотов

Колесо диаметром 70 см совершает 120 оборотов. Какое расстояние оно проходит? За один полный оборот колесо прокатывается на длину своей окружности, поэтому сначала нужно узнать эту длину. Затем её умножают на число оборотов. Удобно сначала считать в сантиметрах, а после вычислений перевести путь в метры.

1. Находим длину окружности колеса по диаметру: C ≈ 3,14 · 70 = 219,8 см.
2. Вычисляем путь за 120 оборотов: 219,8 · 120 = 26 376 см.
3. Переводим сантиметры в метры: 26 376 см = 263,76 м.

Ответ: примерно 263,76 м. Проверка единиц: один оборот даёт сантиметры пути, умножение на число оборотов сохраняет сантиметры, а перевод в метры выполняется делением на 100.

Типичные ошибки

Иногда в формулу C = 2πR подставляют диаметр вместо радиуса. Так делают, потому что путают обозначения, и длина получается вдвое больше правильной. Перед вычислением проверьте, что стоит в формуле: для радиуса нужен множитель 2, а диаметр можно сразу подставлять в C = πd.

При вычислении дуги можно забыть разделить угол на 360° и получить длину всей окружности. Ошибка возникает, если сразу подставить радиус, не определив долю полного оборота. Проверьте, что множитель n / 360° есть в расчёте, а при угле меньше 360° длина дуги меньше C.

Градусную меру угла иногда принимают за длину дуги. Причина — обе величины относятся к одной части окружности, хотя угол измеряют в градусах, а дугу — сантиметрами, метрами и другими единицами длины. Чтобы проверить ответ, посмотрите на единицу: у угла должны быть градусы, у дуги — единица длины.

Ещё одна ошибка — смешивать сантиметры и метры, например подставить радиус в сантиметрах, а результат записать в метрах без перевода. Это происходит, когда единицу ответа выбирают раньше, чем проверяют единицы исходных данных. Сначала вычислите длину в единицах радиуса, затем выполните перевод и убедитесь, что итоговая единица указана явно.

Связь с другими темами

Для работы с длиной окружности нужны знания о радиусе, диаметре, центральном угле, пропорциях и переводе единиц длины. Эти понятия помогают понять, какая часть окружности задана и как соотнести её с полным кругом. Формулы пригодятся в задачах о движении по кругу, длине пути колеса и измерении дуг. Позже те же знания используют при изучении площади круга и сектора, а также в практических геометрических измерениях.

Что запомнить

• Диаметр окружности в два раза больше радиуса.
• Длина окружности вычисляется по формулам C = 2πR или C = πd.
• Число π приблизительно равно 3,14.
• Длина дуги пропорциональна её центральному углу.
• Длина дуги с углом n° равна πRn / 180°.
• Полная окружность соответствует центральному углу 360°.
• Ответ должен иметь единицу длины.