§ 67. Расстояние между точками. Уравнение окружности

Определения и обозначения

Расстояние между точками на координатной плоскости — длина отрезка, который соединяет эти точки. Для A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) оно вычисляется так: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Эта формула позволяет находить длину отрезка по известным координатам.

Координаты точки — числа, задающие её положение на плоскости. В записи A(x₁; y₁) первое число x₁ называют абсциссой, а второе y₁ — ординатой; для B используются x₂ и y₂. Такой порядок нужно сохранять при подстановке в формулы.

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от заданной точки. Заданная точка называется центром, а одинаковое расстояние до неё — радиусом. Поэтому окружность можно описать не только рисунком, но и точным уравнением.

Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты каждой точки окружности. Если центр имеет координаты (a; b), а радиус равен R, то уравнение имеет вид (x − a)² + (y − b)² = R². По этой записи можно определить основные свойства окружности.

Как это устроено

Рассмотрим точки A и B и проведём через них горизонтальный и вертикальный отрезки. Получившийся прямоугольный треугольник имеет катеты, равные разностям абсцисс и ординат: |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. Отрезок AB становится гипотенузой, поэтому по теореме Пифагора AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Извлекая квадратный корень, получаем формулу расстояния.

Разность координат может быть положительной или отрицательной: это зависит от того, какая точка расположена правее или выше. Длина отрезка не бывает отрицательной, поэтому знак разности не должен менять результат. Возведение в квадрат устраняет знак, а сумма квадратов катетов как раз предусмотрена теоремой Пифагора.

Возьмём произвольную точку окружности P(x; y) и центр O(a; b). По определению расстояние OP равно радиусу R. Подставляя координаты этих точек в формулу расстояния, получаем √((x − a)² + (y − b)²) = R. После возведения обеих частей в квадрат выходит уравнение (x − a)² + (y − b)² = R².

В записи (x − a)² + (y − b)² = R² числа a и b являются координатами центра, а R — радиусом. Например, в уравнении (x − 3)² + (y + 4)² = 25 центр имеет координаты (3; −4), а радиус равен 5. Знак внутри скобки противоположен знаку соответствующей координаты, потому что y + 4 = y − (−4).

Если центр совпадает с началом координат, то a = 0 и b = 0. Тогда выражения x − 0 и y − 0 заменяются просто на x и y, поэтому уравнение принимает вид x² + y² = R². Например, x² + y² = 16 задаёт окружность с центром (0; 0) и радиусом 4.

Расстояние между точками и уравнение окружности

Таблица помогает выбрать нужную формулу по условию задачи. Сначала определите, какие данные известны: координаты двух точек, центр и радиус или уравнение. В последнем столбце указано, какой вывод можно сделать после подстановки.

Разбор задач

Задача 1. Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Координаты отличаются по горизонтали на 3, а по вертикали на 4, поэтому можно ожидать треугольник с катетами 3 и 4.

1. Находим разности координат: x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3, y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.
2. Подставляем их в формулу: AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
3. Проверка по теореме Пифагора даёт тот же результат: треугольник с катетами 3 и 4 имеет гипотенузу 5.

Ответ: AB = 5.

Задача 2. Записать уравнение окружности с центром O(−2; 3) и радиусом 5. Используем общий вид и внимательно подставляем координаты: знак минус перед координатой центра уже учитывается в скобке.

1. Записываем шаблон: (x − a)² + (y − b)² = R².
2. Подставляем a = −2, b = 3 и R = 5: (x − (−2))² + (y − 3)² = 5².
3. Упрощаем запись: (x + 2)² + (y − 3)² = 25.

Ответ: (x + 2)² + (y − 3)² = 25.

Задача 3. Проверить, лежит ли точка M(2; 5) на окружности (x − 1)² + (y − 2)² = 10, и найти центр и радиус. Сначала читаем данные уравнения, а затем выполняем проверку подстановкой.

1. Сравниваем запись с общим видом: центр O(1; 2), R² = 10, значит R = √10.
2. Подставляем координаты M: (2 − 1)² + (5 − 2)² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
3. Получилось равенство правой части уравнения, поэтому точка M принадлежит окружности.

Ответ: центр O(1; 2), радиус √10; точка M лежит на окружности.

Типичные ошибки

Путаница координат. Иногда абсциссу одной точки сравнивают с ординатой другой. Так происходит из-за невнимательности к порядку чисел; проверяйте, что сначала вычитаете x из x, а затем y из y.

Пропуск квадрата или корня. Запись (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² даёт квадрат расстояния, а не само расстояние. Сверяйтесь с формулой: после суммы квадратов должен стоять знак √.

Неверный знак координаты центра. В скобке (x − a)² центр имеет абсциссу a, а не −a. Если записано (x + 2)², перепишите его как (x − (−2))² и сразу увидите координату −2.

Неточной проверки точки. Одной подстановки недостаточно: нужно получить точное равенство с правой частью. Не заменяйте знак равенства неравенством и не округляйте результат до приблизительного значения.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости. Также важно правильно находить разности их абсцисс и ординат, не меняя порядок координат.

Вывод формулы расстояния опирается на теорему Пифагора. Кроме того, нужно понимать, что квадратный корень из квадрата положительного числа возвращает это число.

Формулы применяются в координатном методе решения геометрических задач. С их помощью исследуют взаимное расположение точек, окружностей и других фигур.

Что запомнить

• Расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Расстояние между точками неотрицательно и не зависит от порядка точек.
• Окружность состоит из точек, равноудалённых от её центра.
• Уравнение окружности с центром (a; b) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² = R².
• В уравнении окружности координаты центра записаны как числа, вычитаемые из переменных в скобках.
• У окружности с центром в начале координат уравнение имеет вид x² + y² = R².