§ 68. Векторы. Сложение векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало, конец, направление и длина. Его обозначают стрелкой над буквами начальной и конечной точек, например →AB, или над одной маленькой буквой: →a. Такое обозначение напоминает, что важны не только концы отрезка, но и то, куда он направлен.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Их начала могут находиться в разных точках: для равенства достаточно совпадения длины и направления. Это позволяет переносить вектор по плоскости, не меняя его самого.

Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Вектор, противоположный →a, обозначают −→a. Такое понятие нужно, чтобы описывать перемещение назад по тому же пути.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом, а длина равна нулю. Его направление не определено, потому что из одной точки нельзя указать сторону движения. Он обозначается →0 и возникает, например, при сложении противоположных векторов.

Как это устроено

Вектор задаётся не одной длиной, а одновременно длиной и направлением. Представьте два равных по длине отрезка: один направлен вправо, другой вверх. Они описывают разные перемещения, поэтому соответствуют разным векторам. Именно направление помогает отличить одно перемещение от другого.

Чтобы узнать, равны ли векторы на чертеже, сравните их длины и направления. Если один отрезок направлен слева направо, а другой справа налево, они не равны, даже если длины совпадают. Начала могут быть где угодно: мысленно перенесите один вектор параллельно самому себе и сравните его с другим. Перенос не меняет длину и направление.

Для сложения по правилу треугольника сначала оставьте первый вектор на месте, а второй перенесите так, чтобы его начало совпало с концом первого. Затем соедините начало первого вектора с концом перенесённого второго и направьте стрелку к этому концу. Получится общий результат двух последовательных перемещений: сначала выполнено первое, затем второе. Поэтому соединять начала векторов не нужно.

Если векторы отложены от одной точки, удобно построить параллелограмм: через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору. Диагональ из общего начала показывает суммарное перемещение. Она подходит к правилу треугольника, потому что её можно представить как путь по одной стороне параллелограмма, а затем по другой. Значит, диагональ ведёт из начала первого вектора к концу второго, перенесённого к первому.

При перестановке слагаемых результат не меняется: диагональ параллелограмма одна и та же, как бы мы ни назвали его стороны первым и вторым вектором. Поэтому →a + →b = →b + →a. Если второй вектор противоположен первому, равные по длине перемещения направлены навстречу друг другу и взаимно уничтожаются. Начальная и конечная точки результата совпадают, так что сумма является нулевым вектором.

Основные понятия и действия с векторами

Используйте таблицу как короткий план: сначала определите, какое понятие проверяете, а затем сравните нужные признаки. При сложении выберите правило, которое удобнее для расположения векторов на чертеже. Оба правила дают один и тот же результат.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже даны векторы →AB и →CD. Определите, равны ли они, если их длины равны и они направлены в одну сторону. Нужно проверить именно два признака равенства, а не расположение отрезков. Общие начала для сравнения не требуются.

1. Сравниваем длины: по условию они равны.
2. Сравниваем направления: по условию векторы направлены в одну сторону.
3. Оба условия равенства выполнены, значит, векторы равны.

Ответ: →AB = →CD. Их расположение в разных местах чертежа этому не мешает.

Задача 2. Постройте сумму векторов →a и →b, если конец →a не совпадает с началом →b. Сложение по правилу треугольника требует, чтобы второй вектор начинался там, где закончился первый. Поэтому сначала нужно перенести →b, сохранив его длину и направление.

1. Оставляем →a на месте и отмечаем его конец.
2. Параллельно переносим →b так, чтобы его начало совпало с концом →a; длину и направление →b не меняем.
3. Проводим вектор от начала →a к концу перенесённого →b.

Ответ: построенный вектор — →a + →b. Он показывает итог перемещения сначала по →a, затем по →b.

Задача 3. От одной точки O отложены векторы →a и →b. Постройте →a + →b и →b + →a, затем сравните результаты. Поскольку начала общие, можно использовать правило параллелограмма. Сравнение покажет, зависит ли сумма от порядка слагаемых.

1. Через конец →a проводим прямую, параллельную →b, а через конец →b — прямую, параллельную →a.
2. Получаем параллелограмм и проводим диагональ из точки O к противоположной вершине.
3. Эта диагональ является суммой для обоих порядков: при обходе сторон можно начать как с →a, так и с →b.

Ответ: →a + →b = →b + →a; оба построения дают одну диагональ из O.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины. Так думают, когда воспринимают вектор как обычный отрезок и не учитывают стрелку. Проверьте, в одну ли сторону они направлены: без совпадения направлений равенства нет.

Иногда считают, что равные векторы обязательно имеют общее начало. Это происходит из-за привычки сравнивать фигуры, расположенные рядом. Сравните длины и направления независимо от положения; если оба признака совпадают, векторы равны.

При сложении по правилу треугольника можно по ошибке соединить начала векторов. Такой отрезок не показывает последовательное перемещение, потому что второй вектор должен начинаться в конце первого. Перед проведением результата убедитесь, что начало второго вектора приложено к концу первого.

Противоположные векторы путают с равными, поскольку длины у них одинаковы. Но противоположные векторы направлены в разные стороны, а равные — в одну и ту же. Проверьте стрелки: одинаковые длины сами по себе не доказывают ни равенство, ни противоположность.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь измерять отрезки, сравнивать их длины и различать направления. Понадобятся также представления о параллельных прямых: они помогают переносить вектор и строить параллелограмм. Эти умения позволяют точно выполнять построения, а не угадывать положение стрелок.

Векторы описывают перемещения и пригодятся при изучении координат векторов. Их сложение помогает находить результат нескольких движений, а также участвует в геометрических доказательствах. Поэтому правила построения суммы становятся полезным инструментом для следующих тем.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Противоположные векторы равны по длине и направлены в разные стороны.
• Начало и конец нулевого вектора совпадают.
• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
• Перестановка слагаемых не меняет сумму векторов.
• Сумма двух противоположных векторов — нулевой вектор.