§ 69. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведением вектора a на число k называют вектор ka, длина которого равна |k| · |a|. Здесь |a| — модуль, то есть длина вектора, а |k| — модуль числа. Если k не равен нулю, произведение коллинеарно вектору a: оно лежит на той же или параллельной прямой. Такое определение позволяет получить из одного вектора другой с нужной длиной и направлением.

Модуль произведения равен произведению модулей: |ka| = |k| · |a|. Например, если длина a составляет 4 см, то длина 3a равна 12 см, а длина ½a — 2 см. В формуле для длины используется именно модуль множителя, потому что длина не может быть отрицательной. Это правило помогает отдельно вычислить размер результата, не смешивая его со знаком числа.

При положительном k направление произведения совпадает с направлением a, а при отрицательном — противоположно ему. Если k = 0, то ka — нулевой вектор, его длина равна нулю и направление не задаётся. Знак множителя поэтому отвечает за направление, а ноль выделен отдельно: нельзя говорить, что нулевой вектор направлен в какую-либо сторону. Это различие нужно учитывать при построении результата.

Число k называют коэффициентом умножения, или множителем: оно задаёт изменение длины и, своим знаком, направление результата. Например, множитель 2 увеличивает длину вдвое, а множитель −2 — тоже вдвое, но разворачивает вектор. Если модуль множителя меньше единицы и больше нуля, длина уменьшается. Коэффициент помогает описать результат одним числом, не задавая каждый раз его длину и направление отдельно.

Как это устроено

Чтобы построить произведение положительного числа на вектор, сначала проводят луч в направлении исходного вектора. Затем на этом луче откладывают вектор с длиной, умноженной на число. Например, при множителе 3 нужно отложить три исходные длины. Направление сохраняется, потому что положительное число не требует перехода на противоположный луч.

При отрицательном множителе сначала определяют, куда направить результат: знак минус означает, что он должен идти в противоположную сторону. Затем длину умножают на модуль числа, поскольку длина не может быть меньше нуля. Например, множитель −2 задаёт вектор вдвое длиннее исходного, но направленный обратно. Эти два действия — смена направления и изменение длины — удобно выполнять по очереди.

При умножении на ноль длина результата равна |0| · |a|, то есть нулю. Вектор нулевой длины не имеет определённого направления, поэтому строить его на луче не требуется. Именно поэтому в правиле о совпадении или противоположности направлений рассматривают ненулевой множитель. Нулевой вектор можно обозначить как 0a.

Модуль множителя показывает, во сколько раз меняется длина. Если он больше единицы, новая длина больше исходной; например, при множителе 1,5 она увеличится в полтора раза. Если модуль множителя находится между нулём и единицей, длина уменьшается: при множителе ½ она становится вдвое меньше. Направление при этом определяет знак множителя, а не его величина.

Чтобы проверить, можно ли получить один ненулевой вектор из другого умножением на число, сравнивают их направления. Векторы должны быть коллинеарны — лежать на одной прямой или на параллельных прямых, — иначе никакой множитель не изменит направление так, чтобы совместить их. Затем находят отношение длины результата к длине исходного: это модуль множителя. Если направления совпадают, ставят плюс, а если противоположны — минус.

Как число влияет на произведение вектора на число

Сначала найдите в таблице строку с нужным множителем: она подскажет, как изменится длина и куда направить результат. Для отрицательного числа вычисляйте длину по его модулю, а знак используйте только для выбора направления. При нуле направление не указывают.

Разбор задач

Задача 1. Вектор a имеет длину 4 см. Постройте вектор 2a и укажите его длину и направление.

1. Множитель равен 2, он положительный. Поэтому направление 2a будет таким же, как у a. Сначала это позволяет выбрать нужный луч для построения.

2. Умножим длину исходного вектора на множитель: |2a| = 2 · 4 = 8 см. На выбранном луче отложим вектор длиной 8 см. Получится вектор, вдвое длиннее a.

Ответ: длина 2a равна 8 см, направление совпадает с направлением a.

Задача 2. Вектор b имеет длину 6 см. Постройте вектор −½b и укажите его длину и направление.

1. Сначала рассмотрим модуль множителя: |−½| = ½. Значит, длина произведения составит половину длины b. Вычисляем: |−½b| = ½ · 6 = 3 см.

2. Теперь учитываем знак минус: он задаёт направление, противоположное направлению b. На луче, направленном обратно, откладываем 3 см. Так одновременно соблюдаются и длина, и направление произведения.

Ответ: длина −½b равна 3 см, направление противоположно направлению b.

Задача 3. Векторы p и q коллинеарны, их длины равны соответственно 3 см и 9 см. Определите, может ли q быть произведением p на число, и найдите множитель для случаев одинакового и противоположного направлений.

1. Коллинеарность означает, что векторы лежат на одной или параллельных прямых. Это необходимое условие для умножения ненулевого вектора на число, поэтому здесь q может быть произведением p на число. Если бы векторы не были коллинеарны, подходящего множителя не существовало бы.

2. Найдём модуль множителя: длину q разделим на длину p, то есть 9 : 3 = 3. Значит, подходят множители, модуль которых равен 3. Число 3 выбираем, когда направления совпадают.

3. Если направления противоположны, нужен отрицательный множитель с тем же модулем. Тогда подходит число −3: оно увеличивает длину втрое и разворачивает вектор. Проверка: 3 · 3 см = 9 см.

Ответ: да, q может быть произведением p на число; при одинаковых направлениях множитель равен 3, при противоположных — −3.

Типичные ошибки

При отрицательном множителе иногда меняют только длину, но оставляют прежнее направление. Так происходит, когда знак числа воспринимают как часть вычисления длины, а не как указание направления. Проверьте построение: при множителе со знаком минус результат должен быть направлен обратно исходному вектору.

Другая ошибка — умножать длину на отрицательное число без модуля. Например, из −2 · 4 получают длину −8 см, хотя отрицательной длины не бывает. В формуле используйте |ka| = |k| · |a|, а знак учитывайте отдельно. Если получилась отрицательная длина, значит, модуль множителя забыли.

Иногда считают, что любой множитель меняет направление. Но положительный множитель сохраняет направление исходного вектора, даже если он больше единицы или меньше единицы. Изменение длины не означает разворот. Для самопроверки сравните знак множителя с результатом: разворот нужен только при отрицательном числе.

Ещё одна ошибка — пытаться указать направление нулевого вектора. Его длина равна нулю, поэтому он не направлен ни вдоль исходного вектора, ни в противоположную сторону. Это путают, перенося правило для ненулевого множителя на случай нуля. Проверьте сначала длину: если множитель равен нулю, ответом служит нулевой вектор без направления.

Связь с другими темами

Для умножения вектора на число нужно знать, что такое вектор, его модуль и коллинеарность. Модуль помогает вычислить длину результата, а понятие коллинеарных векторов — понять, могут ли два вектора быть связаны таким умножением. Эти знания позволяют не путать направление вектора с его длиной.

Умножение вектора на число пригодится при сложении векторов и разложении вектора по направлениям: с его помощью описывают векторы, кратные другим. Оно также используется в координатном методе, где действия с векторами выполняют через числа. Поэтому правило связывает геометрическое построение с вычислениями.

Что запомнить

• Модуль произведения равен произведению модуля вектора на модуль числа: |ka| = |k| · |a|.
• Положительный множитель сохраняет направление вектора.
• Отрицательный множитель меняет направление на противоположное.
• Множитель по модулю больше единицы увеличивает длину, а меньше единицы — уменьшает.
• При умножении на ноль получается нулевой вектор.
• Ненулевые векторы, связанные умножением на число, коллинеарны.