"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Координаты вектора показывают, на сколько единиц нужно переместиться по горизонтали и вертикали, чтобы пройти от его начала к концу. Их можно найти по координатам двух точек: из координат конца вычесть координаты начала. Такой способ позволяет сравнивать векторы, даже если они нарисованы в разных местах, и выполнять действия с ними по простым правилам: отдельно с первыми и отдельно со вторыми координатами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единиц нужно переместиться по каждой координатной оси, чтобы получить этот вектор. Например, первая координата описывает перемещение вправо или влево, а вторая — вверх или вниз. Это описание удобно тем, что положение и направление вектора можно задать числами, не полагаясь только на рисунок.
Запись вектора координатами имеет вид ⟨a; b⟩, где a — первая, а b — вторая координата вектора. Условно можно представить, что сначала выполняется горизонтальное перемещение на a единиц, а затем вертикальное на b единиц. Такая запись помогает быстро находить координаты и выполнять действия с векторами.
Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то вектор AB имеет координаты ⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩. Здесь A — начало вектора, а B — его конец, поэтому сравнивают конечное положение с начальным. Это правило позволяет находить перемещение, даже если вектор задан не рисунком, а двумя точками.
Нулевой вектор — вектор с координатами ⟨0; 0⟩, у которого начало совпадает с концом. Он не переносит точку ни по одной из осей, потому что обе составляющие перемещения равны нулю. Понятие нулевого вектора нужно, чтобы обозначать отсутствие перемещения и описывать результат некоторых действий с векторами.
На координатной плоскости вектор можно представить как путь от его начала к концу. Чтобы определить этот путь числами, мысленно проведи отрезки параллельно осям: сначала горизонтальный, затем вертикальный. Их длины со знаками показывают, сколько единиц пройдено вправо или влево и вверх или вниз, а вместе они дают тот же вектор, что и прямое перемещение к концу.
Из координат начала вычитают координаты конца не случайно: координата вектора описывает изменение положения. Если точка переместилась с x₁ на x₂, изменение по горизонтали равно x₂ − x₁; по вертикали оно равно y₂ − y₁. Например, движение вправо от −2 до 3 составляет 3 − (−2) = 5 единиц, а обратное вычитание дало бы число с противоположным знаком и описало бы другой вектор.
Вектор может быть нарисован в разных местах плоскости, но его координаты определяются только перемещением от начала к концу. Если перенести стрелку параллельно, не меняя её длину и направление, горизонтальная и вертикальная составляющие останутся прежними. Поэтому равные векторы имеют одинаковые координаты, даже если их начала находятся в разных точках.
При сложении двух векторов сначала можно пройти перемещение, заданное первым, а затем — вторым. Общий горизонтальный путь получается сложением первых координат, а общий вертикальный — сложением вторых. При вычитании вместо второго вектора берут противоположное перемещение; поэтому соответствующие координаты вычитаются, а координаты по разным осям не смешиваются.
Умножение вектора на число изменяет каждую составляющую перемещения в одинаковое число раз. Если число положительное, направление сохраняется, а длина соответственно увеличивается или уменьшается; если число отрицательное, обе составляющие меняют знак и направление становится противоположным. Поэтому число умножают и на первую, и на вторую координату вектора.
| Что дано или требуется | Правило | Что означает |
|---|---|---|
| Вектор AB, A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | AB = ⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩ | Из координат конца вычитают координаты начала |
| Векторы a = ⟨a₁; a₂⟩ и b = ⟨b₁; b₂⟩ | a + b = ⟨a₁ + b₁; a₂ + b₂⟩ | Складывают соответствующие координаты |
| Векторы a = ⟨a₁; a₂⟩ и b = ⟨b₁; b₂⟩ | a − b = ⟨a₁ − b₁; a₂ − b₂⟩ | Вычитают соответствующие координаты |
| Число k и вектор a = ⟨a₁; a₂⟩ | ka = ⟨ka₁; ka₂⟩ | Умножают каждую координату вектора на число |
| Нулевой вектор | ⟨0; 0⟩ | Обе координаты равны нулю |
Сначала определи, какое действие требуется, затем выбери соответствующую строку таблицы. Для сложения и вычитания следи, чтобы первая координата действовала с первой, а вторая — со второй. Если в задаче даны две точки, проверь направление вектора и вычитай координаты начала из координат конца.
Точки A(−2; 1) и B(3; 4). Найдите координаты вектора AB. Сначала определим, какая точка является началом, а какая концом: вектор AB направлен от A к B. Значит, из координат B нужно вычесть соответствующие координаты A.
Ответ: AB = ⟨5; 3⟩. Проверка по смыслу: чтобы попасть из A в B, нужно пройти 5 единиц вправо и 3 единицы вверх. Оба перемещения согласуются с координатами точек.
Даны векторы a = ⟨2; −3⟩ и b = ⟨−1; 5⟩. Найдите a + b и a − b. В каждой операции отдельно работаем с первыми координатами и отдельно со вторыми, потому что они отвечают за разные оси. При вычитании важно вычитать координату b, сохраняя её знак.
Ответ: a + b = ⟨1; 2⟩, a − b = ⟨3; −8⟩. При вычитании отрицательной первой координаты получилось сложение, а во второй координате вычитали положительное число из отрицательного. Такая проверка знаков помогает избежать ошибки.
Вектор AB имеет координаты ⟨−4; 6⟩, A(2; −1). Найдите координаты точки B. Из координат вектора известно, как изменяются координаты при движении от A к B. Поэтому к каждой координате начала нужно прибавить соответствующее перемещение.
Ответ: B(−2; 5). Проверим результат обратным действием: −2 − 2 = −4, а 5 − (−1) = 6. Значит, координаты вектора из A в найденную точку действительно равны ⟨−4; 6⟩.
Иногда вычитают координаты конца из координат начала, хотя требуется найти вектор от A к B. Так происходит, если забыть, куда направлена стрелка: изменение всегда считают как «конечное минус начальное». Для проверки мысленно сравни координаты точек: если движение идёт вправо, первая координата вектора должна быть положительной.
При сложении и вычитании можно случайно соединить первую координату одного вектора со второй координатой другого. Обычно это происходит, когда числа записывают в строку и не следят за их местом. Сверь запись по осям: первая координата работает только с первой, вторая — только со второй.
Другая ошибка — считать, что координаты вектора зависят от того, где нарисована стрелка. Положение начала на плоскости не определяет координаты: их задаёт только перемещение к концу. Чтобы проверить себя, перенеси вектор параллельно и сравни его направление и длину; у равных векторов координаты совпадают.
При умножении вектора на число иногда умножают только одну координату. Это случается, если воспринимать запись как отдельные числа, а не как две составляющие одного перемещения. Проверь оба результата: и первая, и вторая координаты должны быть умножены на одно и то же число.
Для работы с координатами векторов нужно уметь находить координаты точек на координатной плоскости и понимать направление вектора. Координаты точки показывают её положение, а координаты вектора — перемещение от одной точки к другой. Эти знания позволяют переходить от рисунка к вычислениям и обратно.
Правила координат пригодятся при изучении сложения векторов, параллельности и перпендикулярности, а также в задачах на координатной плоскости. С помощью чисел проще сравнивать перемещения и находить неизвестные координаты точек. Поэтому важно уверенно выполнять действия с каждой координатой отдельно.
Почему при нахождении координат AB нужно вычитать координаты A из координат B?
Вектор AB направлен от точки A к точке B, поэтому он показывает, как изменились координаты при таком перемещении. Из конечных координат вычитают начальные: AB = ⟨x₂ − x₁; y₂ − y₁⟩.
Могут ли равные векторы быть изображены в разных местах плоскости?
Да. Равные векторы имеют одинаковую длину и направление, поэтому могут быть перенесены параллельно в другое место плоскости. Их координаты при этом остаются одинаковыми.
Как найти координаты точки B, если известны координаты A и вектора AB?
К координате x точки A прибавьте первую координату вектора, а к координате y точки A — вторую. Если A(x₁; y₁), а AB = ⟨a; b⟩, то B(x₁ + a; y₁ + b).
Что происходит с направлением вектора при умножении на отрицательное число?
Направление вектора становится противоположным, потому что отрицательное число меняет знак обеих координат. Например, −a направлен в сторону, обратную направлению a.
Как проверить, что координаты нулевого вектора равны нулю?
У нулевого вектора начало совпадает с концом. Поэтому изменение координат по каждой оси равно нулю, и его координаты записываются как ⟨0; 0⟩.
§ 70. Координаты вектора
