§ 71. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Равными называют векторы одинаковой длины и одного направления, даже если они расположены в разных местах. Это позволяет сравнивать и складывать векторы, не привязывая их к конкретным точкам. При вычислениях важны именно длина и направление вектора.

Угол между векторами — это угол, который образуют их направления, когда векторы совмещены общим началом. Его величина может быть от 0° до 180°. Если векторы не выходят из одной точки, один из них можно параллельно перенести, не меняя его длины и направления. Такой угол используют в определении скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов a и b обозначают a·b и определяют формулой a·b = |a||b|cos φ, где |a| и |b| — длины векторов, а φ — угол между ними. Иными словами, длины перемножают и результат умножают на косинус угла. Определение связывает числовые характеристики векторов с их взаимным расположением. Оно пригодится, например, чтобы выяснить, острый ли угол между векторами.

Перпендикулярные векторы — это векторы, направления которых образуют прямой угол. Для них скалярное произведение равно нулю, потому что cos 90° = 0. Обратное утверждение тоже верно для ненулевых векторов: если произведение равно нулю, угол между ними прямой. Так перпендикулярность можно проверять вычислением.

Как это устроено

В формуле a·b = |a||b|cos φ перемножаются длины, а затем учитывается угол между векторами. Длины и косинус — числа, поэтому их произведение тоже число: скалярное произведение не является вектором. Косинус показывает, как взаимное направление влияет на результат. Например, при одинаковых длинах поворот одного вектора изменяет значение произведения.

Знак результата зависит от косинуса угла: при остром угле косинус положителен, при прямом равен нулю, а при тупом отрицателен. Длины векторов неотрицательны, поэтому знак произведения определяется именно косинусом. Отсюда следует, что по знаку можно судить о виде угла. Само значение при этом зависит и от длин векторов.

Чтобы получить координатную формулу, представим векторы a = (x₁, y₁) и b = (x₂, y₂) через составляющие по осям. В координатах длина вектора равна √(x² + y²), а скалярное произведение по определению — произведению длин на косинус угла. Разложение векторов на горизонтальные и вертикальные составляющие даёт сумму произведений соответствующих координат: a·b = x₁x₂ + y₁y₂. Эта формула удобна, потому что для неё не нужно отдельно находить угол.

Скалярное произведение переместительно: a·b = b·a, ведь перемножение длин и косинус угла не зависит от порядка векторов. Оно распределяется относительно сложения: a·(b + c) = a·b + a·c, поскольку координаты суммы складываются по отдельности и произведение раскрывается по каждому слагаемому. Числовой множитель можно вынести: (ka)·b = k(a·b). Эти свойства помогают упрощать выражения и выполнять вычисления в удобном порядке.

Если угол между вектором и самим собой равен 0°, его косинус равен единице. Поэтому a·a = |a||a| = |a|²: произведение вектора на себя равно квадрату его длины. Для a = (x, y) координатная формула даёт a·a = x² + y². Значит, длину можно найти, извлекая квадратный корень: |a| = √(x² + y²).

Скалярное произведение: определение и основные свойства

Если в задаче даны координаты, обычно быстрее воспользоваться второй строкой таблицы. Когда известны длины и угол, подходит определение; для проверки прямого угла достаточно получить ноль. Свойства помогают упростить вычисления, если выражение содержит сумму или множитель.

Разбор задач

Задача 1. Длины векторов a и b равны 4 и 5, угол между ними равен 60°. Найти a·b. Здесь уже известны все величины из определения, поэтому искать координаты или длину дополнительно не нужно. Подставим данные в формулу и вычислим косинус угла.

1. Запишем формулу: a·b = |a||b|cos φ.
2. Подставим числа: a·b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим a·b = 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Значение положительное, что согласуется с острым углом между векторами. Такая проверка помогает заметить ошибку, если при вычислении получился отрицательный результат.

Задача 2. Даны a = (2, −1) и b = (3, 4). Найти скалярное произведение и определить, острый или тупой угол между векторами. Удобнее считать по координатам: сначала перемножить координаты, стоящие на одинаковых местах, затем сложить результаты. Особенно внимательно учитываем минус у второй координаты вектора a.

1. Используем формулу a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставим координаты: a·b = 2 · 3 + (−1) · 4.
3. Получим 6 − 4 = 2. Произведение положительно, значит угол острый.

Ответ: a·b = 2, угол острый. Проверка знака здесь не требует знать точную величину угла. Если бы вычислили отрицательное число, угол был бы тупым.

Задача 3. Даны точки A(1, 2), B(4, 3), C(2, −1). Определить, перпендикулярны ли AB и AC. Сначала найдём координаты обоих векторов: при переходе от начала к концу вектора из координат конца вычитают координаты начала. Затем проверим, равно ли нулю их скалярное произведение.

1. Найдём AB = (4 − 1, 3 − 2) = (3, 1).
2. Найдём AC = (2 − 1, −1 − 2) = (1, −3).
3. Вычислим AB·AC = 3 · 1 + 1 · (−3) = 3 − 3 = 0.

Ответ: AB и AC перпендикулярны. Ноль получился именно для произведения двух найденных векторов, значит, по условию перпендикулярности угол между ними прямой. При вычитании координат важно соблюдать порядок: координаты конца минус координаты начала.

Типичные ошибки

Ошибка: считать скалярное произведение вектором. Её допускают, потому что в записи участвуют два вектора, но по определению перемножаются их длины и косинус угла — все эти величины являются числами. Проверка простая: результат должен быть числом, а не парой координат и не направленным отрезком. Например, значение 10 — допустимый ответ, а запись «(10, 0)» для произведения неверна.

Ошибка: перепутать угол между векторами с углом между прямыми и взять не тот угол. Между прямыми часто рассматривают меньший угол, а для векторов используют угол после переноса к общему началу от 0° до 180°. Сначала совмести начала векторов, затем определи угол между их направлениями. Так можно выбрать нужное значение для косинуса.

Ошибка: потерять знак координаты в формуле x₁x₂ + y₁y₂. Это часто случается, когда в координатах есть минус и его не переносят в произведение. Подставляй координаты в скобках, например (−1) · 4, а потом отдельно вычисляй каждый член суммы. В конце проверь вычисления и знак результата по виду угла, если он известен.

Ошибка: объявить векторы перпендикулярными только потому, что получилось нулевое произведение, не убедившись, что проверяются именно два вектора. Сначала нужно правильно определить их координаты, особенно если векторы заданы точками, и применить условие к этой паре. Проверь, что каждое произведение составлено из соответствующих координат. Для ненулевых векторов нулевое скалярное произведение означает перпендикулярность.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты вектора, умение находить его длину, выполнять действия с векторами и находить косинус угла. Эти знания дают два способа вычислений: через длины и угол или через координаты. Результат помогает проверять перпендикулярность и находить углы между векторами. Поэтому тема соединяет геометрические рассуждения с координатным методом и пригодится при изучении свойств фигур.

Что запомнить

• a·b = |a||b|cos φ, где φ — угол между векторами.
• Скалярное произведение — число, а не вектор.
• В координатах a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Если угол острый, скалярное произведение положительно; если тупой — отрицательно.
• Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение.
• a·a = |a|².
• Скалярное произведение переместительно: a·b = b·a.