§ 15. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведением вектора a на число λ называют вектор, который обозначают λa. Если множитель не равен нулю, этот вектор коллинеарен a, то есть лежит на той же прямой или на параллельной ей. Геометрически длина произведения связана с длиной исходного вектора, а направление зависит от знака числа. Такое действие позволяет получать из одного вектора векторы той же линии, но другой длины или направленности.

Если λ положительно, вектор λa направлен так же, как a, а его длина равна λ · |a|. Множитель показывает, во сколько раз длина становится больше или меньше: при λ > 1 она увеличивается, а при 0 < λ < 1 уменьшается. Например, 2a вдвое длиннее a и указывает в ту же сторону. Это удобно, когда нужно построить вектор с заданной длиной на направлении исходного.

Если λ отрицательно, произведение λa направлено противоположно вектору a, а длина равна |λ| · |a|. Модуль числа берут потому, что длина не бывает отрицательной; знак отвечает только за смену направления. Так, множитель −3 меняет направление и увеличивает длину втрое. Правило помогает не путать изменение размера вектора с его ориентацией.

При нулевом множителе произведение любого вектора на ноль равно нулевому вектору: 0a = 0. У него длина 0, поэтому направления он не имеет. Частные случаи общего правила: 1a = a, а (−1)a = −a, где −a — вектор, противоположный a и равный ему по длине. Эти равенства позволяют быстро распознавать тождественные и противоположные векторы.

Как это устроено

При умножении на положительное число направление сохраняется, потому что множитель не меняет ориентацию исходного вектора, а только масштабирует его длину. Если число больше единицы, на той же прямой откладывают более длинный вектор; если оно между нулём и единицей — более короткий. Например, ½a имеет половину длины a. Так сохраняется коллинеарность: меняется размер, но не линия направления.

Отрицательное число можно представить как произведение −1 и положительного числа. Множитель −1 сначала задаёт противоположное направление, а положительная часть множителя растягивает или уменьшает вектор. Поэтому при умножении на −3/2 направление становится обратным, а длина увеличивается в 3/2 раза. Эта запись объясняет, почему знак нельзя игнорировать, а длину считают с модулем.

Подстановка 1 в правило не меняет ни направления, ни длины, поэтому 1a = a. При умножении на −1 длина остаётся прежней, но направление меняется, откуда следует (−1)a = −a. Эти случаи служат простыми проверками понимания знака множителя. Они также помогают переписывать выражения, если в них встречаются исходный и противоположный векторы.

Произведения одного вектора на два числа можно сложить так: λa + μa = (λ + μ)a. Геометрически все такие векторы лежат на одной прямой, поэтому их можно откладывать с учётом направления, как отрезки с разными знаками; итоговая длина соответствует сумме множителей с учётом знаков. По той же причине λ(a + b) = λa + λb: если сначала сложить a и b, а затем изменить полученный вектор в λ раз, получится тот же результат, что при умножении каждого слагаемого и последующем сложении. Это свойство позволяет раскрывать скобки.

Свойства умножения используют, чтобы сгруппировать слагаемые с одинаковыми векторами, вынести общий множитель или раскрыть скобки. Например, в выражении 3a − 2a оба слагаемых направлены вдоль одной прямой, поэтому их можно заменить на (3 − 2)a = a. При преобразовании полезно сначала записать множитель у каждого слагаемого, а затем собрать коэффициенты при одинаковых векторах. Так меньше риск потерять знак или умножить только часть суммы.

Направление и длина произведения вектора на число

Сначала определите знак множителя: он показывает, сохранить направление или развернуть вектор. Затем найдите модуль числа и умножьте на него длину исходного вектора. Для нуля отдельное построение не требуется: результат сразу равен нулевому вектору.

Разбор задач

Постройте вектор 2a, если задан вектор a.

Нужно получить вектор, который направлен так же, как a, и имеет вдвое большую длину. Число 2 положительно, поэтому менять направление не нужно. Для построения удобно продолжить прямую, на которой лежит a, и отложить на ней требуемую длину.

1. Определите направление вектора a и запомните его начальную и конечную точки.
2. Из выбранного начала постройте луч в том же направлении, что и a.
3. Измерьте длину a и отложите на луче отрезок длиной 2 · |a|.

Полученный вектор коллинеарен a, направлен так же и в два раза длиннее. Проверка: отношение длины построенного вектора к длине a равно 2. Ответ: вектор 2a, сонаправленный с a, длины 2|a|.

Постройте вектор −3/2 b, если задан вектор b.

Здесь множитель отрицательный, значит, новый вектор должен смотреть в сторону, противоположную b. Его длина определяется модулем множителя, равным 3/2. Поэтому требуется не вычитать длину, а отложить в обратном направлении отрезок в полтора раза длиннее b.

1. Проведите прямую, параллельную b, или используйте прямую, на которой он лежит.
2. Выберите противоположное направление: от конечной точки b к его начальной точке.
3. Отложите в выбранную сторону длину (3/2)|b|, то есть полторы длины b.

Так получается вектор, коллинеарный b, но направленный противоположно ему. Его длина положительна и равна 3/2 длины b. Ответ: вектор −3/2 b с противоположным направлением и длиной (3/2)|b|.

Упростите выражение 3(a + b) − 2a.

В скобках стоит сумма, поэтому сначала распределим множитель 3 на оба слагаемых. Затем представим вычитание 2a как прибавление −2a и объединим произведения одного и того же вектора. Такой порядок помогает не забыть ни один член суммы и сохранить знак.

1. Раскройте скобки по свойству умножения: 3(a + b) = 3a + 3b.
2. Запишите всё выражение: 3a + 3b − 2a.
3. Сгруппируйте слагаемые с вектором a: (3 − 2)a + 3b.
4. Вычислите коэффициент: (3 − 2)a + 3b = a + 3b.

Слагаемое 3b остаётся без изменений, потому что оно не содержит вектор a. Коэффициенты 3 и −2 складываются только при одинаковом векторе. Ответ: a + 3b.

Типичные ошибки

При отрицательном множителе иногда меняют длину, но оставляют направление прежним. Так происходит, если знак воспринимают только как указание на уменьшение, хотя именно он отвечает за разворот вектора. Проверьте себя: поставьте множитель −1 — результатом должен быть вектор, противоположный исходному. Если направление осталось прежним, знак учтён неверно.

Другая ошибка — умножать длину на отрицательное число и считать результат отрицательной длиной. Длину берут по модулю множителя, а знак используют для определения направления. Например, длина −3a равна 3|a|, а не −3|a|. Для проверки спросите себя, может ли длина отрезка быть отрицательной.

Иногда считают, что после умножения на число вектор может перестать быть коллинеарным исходному. Но умножение меняет длину и, возможно, направление, а не прямую, вдоль которой расположен вектор. Проверьте, лежит ли построенный результат на той же или параллельной прямой. Если он ушёл в сторону, при построении изменили не только масштаб.

При раскрытии λ(a + b) можно по ошибке умножить на λ только первое слагаемое. Множитель относится ко всей сумме, поэтому каждое слагаемое нужно умножить отдельно: λa + λb. Проверка — подставить простые сонаправленные векторы: результат должен совпадать с умножением их суммы на λ. Незаписанное слагаемое показывает, что раскрытие выполнено не полностью.

Связь с другими темами

Для работы с умножением вектора на число нужны понятия вектора, его длины, нулевого и противоположных векторов, а также коллинеарности. Знание этих понятий помогает понимать, почему произведение сохраняет линию направления и как меняется его длина. Позже правило пригодится при изучении координат вектора и его разложения. Оно также помогает в задачах на доказательство, где векторы выражают через другие векторы и упрощают полученные равенства.

Что запомнить

• Произведение вектора на число коллинеарно исходному вектору.
• При положительном множителе направления векторов совпадают.
• При отрицательном множителе направления противоположны.
• Длина произведения равна произведению длины исходного вектора на модуль множителя.
• Произведение любого вектора на ноль — нулевой вектор.
• Число можно вынести за скобки или распределить по слагаемым суммы векторов.