"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Три координаты позволяют описать положение точки в пространстве, а координаты вектора — его направление и перемещение по каждой из осей. По координатам точек можно вычислить координаты соединяющего их вектора; по координатам векторов — выполнять сложение, вычитание и умножение на число. Длина вектора также находится по координатам с помощью пространственной теоремы Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными единичными отрезками. Оси обычно обозначают Ox, Oy и Oz. Такая система задаёт три направления, относительно которых можно описать положение любой точки.
Координаты точки — три числа (x; y; z), задающие её положение относительно осей. Первое число показывает смещение вдоль оси Ox, второе — вдоль Oy, третье — вдоль Oz. По этой тройке можно однозначно определить точку в пространстве.
Координаты вектора — три числа (a₁; a₂; a₃), равные приращениям координат при перемещении на этот вектор. Они показывают, насколько нужно изменить каждую координату, чтобы совершить перемещение. Это позволяет описывать вектор числами и выполнять вычисления без чертежа.
Равные векторы — векторы одинакового направления и длины; их координаты совпадают. Начало равных векторов может находиться в разных точках. Совпадение координат позволяет сравнивать и заменять векторы независимо от их расположения.
Три оси задают три взаимно перпендикулярных направления, поэтому положение точки можно разложить на смещения вдоль каждого из них. Координата x отвечает за смещение вдоль Ox, y — вдоль Oy, z — вдоль Oz. Если мысленно двигаться от начала координат сначала по одному направлению, затем по двум другим, получим точку с заданными координатами. Знаки чисел указывают сторону оси, а их величины — расстояние в единичных отрезках.
Чтобы найти координаты вектора AB, сравнивают координаты конца B с координатами начала A. Перемещение по оси Ox равно изменению x, то есть x₂ − x₁; аналогично находят изменения y и z. Именно поэтому во всех трёх координатах используется порядок «конец минус начало». Если координата не изменилась, соответствующая координата вектора равна нулю.
Равные векторы могут начинаться в разных точках, но каждый из них задаёт одинаковое перемещение. При переносе вектора его направление и длина сохраняются, поэтому не меняются и смещения по трём осям. Эти смещения и есть координаты вектора. Значит, для равных векторов координаты совпадают, где бы они ни были расположены.
При сложении перемещений изменения по каждой оси складываются: сначала складывают первые координаты, затем вторые и третьи. При вычитании действуют так же, но соответствующие координаты вычитают. Умножение вектора на число увеличивает или уменьшает каждое из трёх смещений в одинаковое число раз; отрицательное число меняет направление. Покоординатные правила работают потому, что перемещения по разным осям независимы.
Длину вектора находят, рассматривая его координаты как три перпендикулярных смещения. В плоскости квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов катетов по теореме Пифагора. В пространстве теорему применяют последовательно: сначала к двум координатам, затем к полученной диагонали и третьей координате. В результате для вектора (a₁; a₂; a₃) получают длину √(a₁² + a₂² + a₃²).
В таблице собраны обозначения и основные способы вычисления. В строке о векторе по координатам начала и конца используйте правило «конец минус начало». В остальных случаях действия выполняются отдельно для координат с одинаковыми номерами.
| Что рассматриваем | Обозначение | Как определить или вычислить |
|---|---|---|
| Точка | M(x; y; z) | Три координаты показывают смещения вдоль Ox, Oy и Oz. |
| Вектор по координатам начала и конца | AB, где A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). |
| Равные векторы | a = b | Имеют одинаковые координаты. |
| Сумма векторов | a + b | (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃). |
| Разность векторов | a − b | (a₁ − b₁; a₂ − b₂; a₃ − b₃). |
| Произведение вектора на число | ka | (ka₁; ka₂; ka₃). |
| Длина вектора | |a| | √(a₁² + a₂² + a₃²). |
Задача 1. Дана точка M(−2; 3; 1). Укажите её координаты и определите, на сколько единиц она смещена от начала координат вдоль каждой оси. Координаты уже записаны в порядке x, y, z, поэтому важно соотнести каждое число со своей осью. Знак показывает сторону оси, а модуль числа — величину смещения.
Ответ: координаты точки M — (−2; 3; 1); смещения вдоль Ox, Oy и Oz соответственно равны −2, 3 и 1.
Задача 2. Даны точки A(1; −2; 4) и B(3; 1; −1). Найдите координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, поэтому нужно определить, как изменилась каждая координата при переходе из A в B. Для этого вычитаем координаты A из соответствующих координат B.
Собираем изменения в порядке x, y, z. Ответ: AB = (2; 3; −5).
Задача 3. Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (−1; 4; 2). Найдите 2a − b и длину полученного вектора. Сначала преобразуем векторы покоординатно, а затем используем формулу длины. Следим, чтобы при вычитании из координат 2a вычитались координаты b.
Ответ: 2a − b = (5; −6; 4), длина полученного вектора — √77.
При нахождении координат AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Ошибка возникает, если не учитывать направление: AB идёт от A к B. Запишите рядом стрелку A → B и проверьте, что используете координаты B минус координаты A; при обратном векторе BA все координаты будут иметь противоположные знаки.
Координаты точки можно ошибочно принять за координаты вектора. Точка задаёт положение, а вектор — изменение положения, поэтому у вектора нет обязательной привязки к конкретному месту. Проверка проста: координаты точки читают как x, y, z, а координаты вектора между точками получают разностями их координат.
При сложении или вычитании иногда объединяют координаты разных осей, например первое число одного вектора со вторым числом другого. Это происходит, когда теряется порядок координат. Сверяйте разряды: x действует только с x, y — с y, z — с z; после вычисления проверьте, что в результате осталось три координаты.
В формуле длины можно забыть возвести координаты в квадрат или извлечь корень из суммы. Квадраты нужны из-за применения теоремы Пифагора, а корень переводит квадрат длины обратно в длину. Для проверки подставьте простые координаты: у вектора (3; 4; 0) длина должна быть 5, поскольку 3² + 4² = 25 и √25 = 5.
Для работы с координатами в пространстве пригодятся прямоугольная система координат на плоскости, координатная прямая и теорема Пифагора. Изучение координат продолжает тему векторов: геометрические свойства можно переводить в числовые вычисления. Такой способ особенно полезен при изучении скалярного произведения и углов между векторами. Координаты также применяются в уравнениях прямых и плоскостей в пространстве.
Почему у точки и вектора по три координаты?
В пространстве есть три независимых направления, которые задают взаимно перпендикулярные оси. Поэтому для описания положения точки или перемещения по этим направлениям нужны три числа.
Как не перепутать порядок вычитания при нахождении координат вектора AB?
Вектор AB направлен от точки A к точке B, поэтому из координат конца B вычитают координаты начала A. Удобная запись: координаты вектора AB равны B − A.
Могут ли равные векторы иметь разные координаты?
Нет, если координатные оси и единичные отрезки одни и те же. Равные векторы имеют одинаковые направление и длину, поэтому их координаты совпадают независимо от расположения.
Как найти координаты середины отрезка в пространстве?
Для каждой координаты нужно найти среднее арифметическое координат концов отрезка. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то середина имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2).
Как по координатам вектора определить его длину?
Возведите каждую координату в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень. Для вектора (a₁; a₂; a₃) длина равна √(a₁² + a₂² + a₃²).
§ 1. Координаты точки и координаты вектора
