47. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатами вектора в выбранной системе координат называют числа, задающие его разложение по координатным векторам. В пространстве вектор a обычно записывают как a = (x; y; z), где x, y, z — его координаты в установленном порядке. Такая запись заменяет изображение вектора набором чисел и позволяет выполнять вычисления.

Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль положительных направлений координатных осей. В трёхмерной системе их часто обозначают e₁, e₂, e₃. Они задают основные направления, относительно которых описывают любой вектор.

Разложение вектора по координатным векторам — представление его в виде суммы кратных этих векторов: a = x e₁ + y e₂ + z e₃. Коэффициенты x, y, z при координатных векторах и есть координаты a. По ним видно, сколько единичных шагов вектор задаёт в каждом координатном направлении.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Например, если a = (x₁; y₁; z₁), а b = (x₂; y₂; z₂), то a = b при x₁ = x₂, y₁ = y₂ и z₁ = z₂. Это следует из единственности разложения: один и тот же вектор нельзя разложить по тем же координатным векторам с разными коэффициентами.

Как это устроено

Координатные векторы направлены вдоль осей, поэтому их кратные задают перемещения в этих направлениях. Например, x e₁ описывает часть движения вдоль первой оси, а y e₂ и z e₃ — части вдоль двух остальных. Сложив эти три перемещения, получаем исходный вектор. Возможность разложить его таким способом связана с тем, что три координатных направления не лежат в одной плоскости.

Координаты можно понимать как величины перемещений вдоль каждой оси. Положительная координата указывает на движение в положительном направлении оси, отрицательная — в противоположном, а нулевая означает отсутствие перемещения вдоль неё. Поэтому по трём координатам можно восстановить направление и длину перемещения, не имея рисунка. Сама числовая запись зависит от выбранных осей и единиц измерения.

При сложении векторов складываются их разложения: a + b = (a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃) + (b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃). Слагаемые с одинаковым координатным вектором объединяют, как подобные слагаемые: коэффициенты при e₁ складывают между собой, и так же поступают с e₂ и e₃. Поэтому a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃). Для разности действует тот же ход рассуждения, только координаты второго вектора вычитают.

Умножение вектора на число λ умножает на λ всё его разложение. Значит, λa = λ(a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃) = (λa₁)e₁ + (λa₂)e₂ + (λa₃)e₃. Так как координаты — коэффициенты при координатных векторах, каждая из них умножается на одно и то же число. При отрицательном λ направление вектора меняется на противоположное.

Пусть вектор AB направлен от точки A к точке B. Его перемещение получают, переходя от координат начала к координатам конца: по каждой оси берут конечное значение минус начальное. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такой порядок вычитания сохраняет направление от A к B, а не наоборот.

Координаты вектора и действия над векторами

Сначала определите, какое действие требуется, затем примените правило отдельно к координатам одного и того же направления. Для вектора между точками следите за порядком: конец минус начало. Запись координат всегда сверяйте с порядком координатных осей.

Разбор задач

Координаты из разложения

Дан вектор a = 4e₁ − 2e₂ + 5e₃. Нужно записать его координаты. Здесь важно не менять порядок координатных векторов: коэффициент при e₁ становится первой координатой, при e₂ — второй, при e₃ — третьей.

1. Сопоставим первое слагаемое с первым координатным направлением: коэффициент при e₁ равен 4.
2. Во втором слагаемом коэффициент при e₂ равен −2, поэтому вторая координата отрицательная.
3. Коэффициент при e₃ равен 5; запишем все числа в порядке e₁, e₂, e₃.

Ответ: a = (4; −2; 5). Знаки коэффициентов сохраняются: минус перед e₂ нельзя терять. Такая проверка порядка помогает не перепутать координаты.

Сумма и разность

Даны векторы u = (2; −1; 4) и v = (−3; 5; 1). Найдём u + v и u − v. Поскольку координаты отвечают за перемещения вдоль разных осей, складывать или вычитать нужно только числа на одинаковых местах.

1. Для суммы выпишем первые координаты: 2 + (−3) = −1. Затем вторые: −1 + 5 = 4, и третьи: 4 + 1 = 5.
2. Запишем результат в исходном порядке координат: u + v = (−1; 4; 5).
3. Для разности вычтем координаты v из соответствующих координат u: 2 − (−3) = 5, −1 − 5 = −6, 4 − 1 = 3.

Ответ: u + v = (−1; 4; 5), u − v = (5; −6; 3). При вычитании отрицательного числа знак становится положительным. Проверить себя можно по каждой координате отдельно, не смешивая направления.

Вектор по координатам точек

Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1), а также вектор c = (3; 2; −4). Найдём координаты AB и выясним, равен ли он c. Направление AB идёт от A к B, поэтому координаты A вычитаются из координат B.

1. Вычислим разность первых координат: 4 − 1 = 3.
2. Вычислим разность вторых и третьих координат: 0 − (−2) = 2 и −1 − 3 = −4.
3. Соберём координаты в том же порядке и сравним каждую с координатами c.

Получаем AB = (3; 2; −4). Все три координаты совпали с координатами c, поэтому AB = c. Если бы отличалась хотя бы одна координата, векторы не были бы равны.

Типичные ошибки

Координаты иногда переставляют местами, хотя они привязаны к конкретным координатным векторам. Путаница часто возникает, когда меняют порядок осей или читают разложение невнимательно. Проверяйте, при каком именно векторе стоит каждый коэффициент, и записывайте координаты в том же порядке.

При поиске координат AB некоторые вычитают координаты конца из координат начала. Так получают перемещение от B к A, то есть вектор BA, потому что направление меняется на противоположное. Чтобы проверить знак, мысленно пройдите от A к B: нужно вычислять «конец минус начало» для каждой координаты.

При сложении или вычитании могут объединять координаты разных направлений, например первую одного вектора со второй другого. Это неверно: коэффициенты при разных координатных векторах описывают разные перемещения. Сверяйте позиции в записи и выполняйте действие отдельно по каждому столбцу координат.

Для равенства векторов иногда сравнивают только одну или две координаты. Совпадение части координат показывает лишь одинаковые перемещения по соответствующим осям, но не гарантирует равенство в целом. Сравните все координаты; если хотя бы одна пара различается, векторы не равны.

Связь с другими темами

Для изучения координат вектора нужны координатные оси, координаты точек и разложение вектора по некомпланарным векторам — векторам, которые не лежат в одной плоскости. Эти знания объясняют, откуда берутся направления и почему в пространстве используют три координаты. Освоив правила действий с координатами, можно находить вектор по его началу и концу и решать задачи на векторы. Координатный способ описания станет основой для решения геометрических задач в пространстве.

Что запомнить

• Координаты вектора — коэффициенты его разложения по координатным векторам.
• Порядок координат соответствует порядку координатных осей.
• Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
• При сложении и вычитании векторов действия выполняют по соответствующим координатам.
• При умножении вектора на число на это число умножают каждую координату.
• Координаты вектора AB получают вычитанием координат A из координат B.