§ 11. Ортогональное проектирование

Определения и обозначения

Ортогональная проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка уже лежит в плоскости, её проекция совпадает с ней. Это правило задаёт точное положение изображения точки: произвольное место на плоскости выбрать нельзя.

Ортогональная проекция фигуры на плоскость — множество проекций всех точек этой фигуры. Чтобы её получить, мысленно проводят перпендикуляры к плоскости из каждой точки фигуры и отмечают их основания. Так пространственная фигура отображается на плоскости, и её изображение можно изучать с помощью геометрических чертежей.

Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен 90°. Этот угол нужен, чтобы выразить, насколько отрезок наклонён к плоскости, и вычислить длину его проекции.

Угол между плоскостями — острый угол между прямыми, по которым эти плоскости пересекаются с плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. Иначе говоря, мысленно делают сечение, перпендикулярное линии пересечения плоскостей, и измеряют угол между получившимися прямыми. Это позволяет однозначно описать наклон одной плоскости к другой.

Как это устроено

Из точки, не лежащей в плоскости, к ней можно провести перпендикуляр, и основание этого перпендикуляра задаёт её проекцию. Перпендикуляр выбирают потому, что он показывает кратчайшее расстояние от точки до плоскости и не задаёт дополнительного наклона. Основание единственно: если бы из одной точки можно было опустить два разных перпендикуляра к плоскости, они вместе с отрезком между основаниями образовали бы невозможную геометрическую конструкцию. Для точки в плоскости расстояние до неё самой равно нулю, поэтому она проецируется в себя.

Чтобы спроецировать отрезок, достаточно построить проекции его концов и соединить их. Каждая точка отрезка при проектировании переходит в точку прямой, поэтому все получившиеся точки заполняют отрезок между проекциями концов. Если исходный отрезок перпендикулярен плоскости, оба его конца проектируются в одну точку. Если отрезок параллелен плоскости, перпендикуляры из его концов смещают их одинаково, поэтому проекция равна ему по длине.

Связь длины отрезка и длины его проекции видна из прямоугольного треугольника: исходный отрезок — гипотенуза, а его проекция — прилежащий к углу катет. Если длина отрезка равна l, а угол между содержащей его прямой и плоскостью равен α, то длина проекции равна l cos α. Косинус не превышает единицы, поэтому проекция не длиннее исходного отрезка; при α = 0° их длины равны, а при α = 90° проекция имеет нулевую длину.

При проектировании плоской фигуры перпендикуляры переносят все её точки на плоскость проекции. Наклон фигуры уменьшает размеры её изображения в направлении, в котором она как бы «смотрит» на плоскость; в результате площадь проекции равна площади фигуры, умноженной на cos φ, где φ — угол между плоскостями. Это правило применимо к плоской фигуре целиком, а не только к одному её отрезку: изменение площади определяется взаимным наклоном плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, φ = 90° и cos φ = 0, поэтому площадь проекции равна нулю. Фигура при этом не исчезает полностью: её изображение располагается на общей прямой плоскостей и обычно становится отрезком или частью прямой. Если плоскости совпадают, φ = 0°, косинус равен 1, проекция совпадает с исходной фигурой и сохраняет размеры.

Ортогональные проекции объектов и их свойства

Сначала найди в таблице объект и условие задачи, затем прочитай соответствующую строку проекций. Буквой α обозначен угол между прямой и плоскостью, а φ — между плоскостями. Проверь частные случаи: при перпендикулярности проекция отрезка становится точкой, а площадь проекции перпендикулярных плоскостей равна нулю.

Разбор задач

Проекция точки

Условие. Из точки вне плоскости проведён перпендикуляр к плоскости. Построить ортогональную проекцию точки и указать, как проверить построение.

1. Обозначим исходную точку A, а плоскость — α. На проведённом перпендикуляре отметим точку пересечения с плоскостью и назовём её H.
2. По определению проекция A на α — основание перпендикуляра, поэтому искомой точкой является H.
3. Проверим, что H принадлежит α и AH перпендикулярен α. Если оба условия выполнены, построение соответствует определению.

Ответ: точка H — основание перпендикуляра из A на α.

Длина проекции отрезка

Условие. Отрезок длиной 10 см образует с плоскостью угол 30°. Найти длину его ортогональной проекции.

1. Угол в условии — угол между отрезком и плоскостью, поэтому для проекции применяем формулу lпроекции = l cos α.
2. Подставим значения: lпроекции = 10 cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3 см.
3. Проверим порядок величины: 5√3 приблизительно равно 8,66 см, что меньше исходных 10 см.

Ответ: 5√3 см, или приблизительно 8,66 см.

Площадь проекции параллелограмма

Условие. Площадь параллелограмма равна 24 см², а угол между его плоскостью и плоскостью проекции равен 60°. Найти площадь проекции.

1. Из условия известны площадь исходной фигуры и угол между плоскостями. Поэтому используем формулу Sпроекции = Sфигуры cos φ.
2. Подставим данные: Sпроекции = 24 cos 60° = 24 · ½ = 12 см².
3. Проверим результат: косинус острого угла не больше 1, значит проекция не должна иметь площадь больше исходных 24 см². Полученные 12 см² условию соответствуют.

Ответ: 12 см².

Типичные ошибки

Ошибка: называть проекцией точки любое место на плоскости. Так думают, потому что из точки можно провести много наклонных отрезков к разным точкам плоскости, но проекция задаётся именно основанием перпендикуляра. Проверь себя: опущен ли перпендикуляр и лежит ли его основание в плоскости?

Ошибка: путать угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и перпендикуляром к плоскости. Эти углы дополняют друг друга до 90°, поэтому подстановка одного вместо другого изменяет ответ. Проверь, с какой линией прямой образует угол в условии: с самой плоскостью или с её перпендикуляром.

Ошибка: подставлять синус вместо косинуса в формулу длины проекции. Это происходит, когда ученик выбирает не тот катет в прямоугольном треугольнике. Проекция прилежит к углу между прямой и плоскостью, поэтому lпроекции = l cos α; при α = 0° формула должна давать всю длину отрезка.

Ошибка: использовать в формуле площади угол между произвольными прямыми, лежащими в плоскостях. Такой угол сам по себе не показывает наклон плоскостей, а может меняться при выборе прямых. Проверь, что φ — именно угол между плоскостями, определённый сечением, перпендикулярным их линии пересечения.

Связь с другими темами

Для работы с проекциями понадобятся перпендикулярность прямой и плоскости, расстояние от точки до плоскости и свойства прямоугольного треугольника. Ортогональное проектирование помогает изображать пространственные фигуры на чертеже и разбирать углы и расстояния в пространстве. Связь площадей фигуры и её проекции пригодится в задачах на площади сечений и взаимное расположение плоскостей.

Что запомнить

• Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра из точки к плоскости.
• Проекция отрезка определяется проекциями его концов.
• Длина ортогональной проекции отрезка не превосходит длину самого отрезка.
• Длина проекции равна длине отрезка, умноженной на косинус угла между прямой и плоскостью.
• Площадь проекции плоской фигуры равна её площади, умноженной на косинус угла между плоскостями.
• Если плоскости совпадают, площадь проекции равна исходной площади.