§ 8. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярные плоскости — это пересекающиеся плоскости, угол между которыми равен 90°. Если плоскости α и β перпендикулярны, записывают α ⟂ β. Угол определяют через линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями: это угол в сечении, перпендикулярном линии их пересечения. Определение позволяет отличить перпендикулярные плоскости от просто пересекающихся.

Угол между плоскостями — меньший из углов, образованных перпендикулярами к линии пересечения плоскостей, проведёнными в каждой из них. Эти перпендикуляры лежат в плоскостях и выходят из одной точки линии пересечения. Их угол совпадает с линейным углом двугранного угла. Такое определение сводит измерение угла между плоскостями к измерению угла между двумя прямыми.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Например, если a ⊂ α и a ⟂ β, то α ⟂ β. Признак нужен, когда построить или вычислить угол между плоскостями трудно, зато можно найти прямую с нужной перпендикулярностью. При этом важно, чтобы прямая действительно принадлежала одной из рассматриваемых плоскостей.

Как это устроено

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол с общей прямой — ребром двугранного угла. Чтобы измерить этот угол, выбирают на ребре точку и проводят в каждой плоскости прямую, перпендикулярную ребру. Важен выбор именно перпендикулярных прямых: они показывают раскрытие плоскостей поперёк общей линии, а не вдоль неё. Сечение плоскостью, перпендикулярной ребру, содержит эти прямые, поэтому угол в сечении и называют линейным углом двугранного угла.

Угол между плоскостями берут меньшим из углов, образованных такими перпендикулярами. Если плоскости перпендикулярны, этот угол равен 90°, и наоборот: прямой линейный угол означает, что плоскости перпендикулярны по определению. Это условие задаёт точный смысл слова «перпендикулярные», а не просто описывает то, что плоскости пересекаются. Поэтому в доказательстве по определению нужно обосновать, что угол между плоскостями именно прямой.

Признак опирается на свойства прямой и плоскости. Пусть прямая a лежит в α и перпендикулярна β, а α и β пересекаются по m. Поскольку a перпендикулярна плоскости β, она перпендикулярна каждой прямой β, проходящей через точку её пересечения с β, в том числе m. Значит, в плоскости α есть прямая, перпендикулярная m; вместе с перпендикулярностью a к плоскости β это позволяет установить, что линейный угол двугранного угла прямой, то есть α ⟂ β.

Из перпендикулярности плоскостей следует полезное обратное по виду действие. Пусть α ⟂ β, их линия пересечения — m, а прямая a лежит в α и перпендикулярна m. Плоскость, проведённая через a перпендикулярно m, пересекает α и β по прямым, которые образуют линейный угол двугранного угла. В α такой прямой является a; поскольку угол между плоскостями прямой, прямая в β перпендикулярна a. Поэтому a перпендикулярна β.

Выбирай способ доказательства по тому, что легче установить из условия. Если удобно построить линейный угол и показать, что он равен 90°, пользуйся определением. Если в одной плоскости уже можно указать прямую, перпендикулярную другой плоскости, применяй признак. Для этого сначала докажи перпендикулярность прямой плоскости, например с помощью признака перпендикулярности прямой и плоскости. Одной перпендикулярности прямой линии пересечения для применения признака недостаточно: это условие используется в следствии, когда перпендикулярность плоскостей уже известна.

Определение и признак перпендикулярности плоскостей

Сначала проверь, какие условия уже даны: известен ли угол, есть ли прямая, перпендикулярная плоскости, или плоскости уже объявлены перпендикулярными. Затем используй соответствующую строку таблицы в направлении от условия к выводу. Это помогает не подменить признак следствием и не заключить перпендикулярность плоскостей только по одному факту пересечения.

Разбор задач

Прямая в плоскости перпендикулярна другой плоскости

Условие. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. В плоскости α проведена прямая a, перпендикулярная β. Докажите, что α и β перпендикулярны. Здесь ключевое условие уже дано напрямую: a лежит в α и перпендикулярна β. Поэтому вычислять линейный угол не требуется.

1. По условию a ⊂ α, то есть прямая целиком лежит в одной из рассматриваемых плоскостей. Условие a ⟂ β означает, что a перпендикулярна плоскости β, а не только линии m. Оба требования для признака выполнены.
2. Применяем признак перпендикулярности плоскостей: если α содержит прямую, перпендикулярную β, то α ⟂ β. Дополнительно можно заметить, что a ⟂ m, поскольку m лежит в β, но для применения признака это не требуется. Важно не заменить исходное условие a ⟂ β более слабым условием a ⟂ m.

Ответ: α ⟂ β по признаку перпендикулярности плоскостей.

Прямая перпендикулярна линии пересечения

Условие. Плоскости α и β перпендикулярны и пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в α и перпендикулярна m. Докажите, что a перпендикулярна β. В отличие от предыдущей задачи, перпендикулярность прямой второй плоскости не дана. Её нужно получить по следствию из перпендикулярности плоскостей.

1. Запишем имеющиеся условия: α ⟂ β, a ⊂ α и a ⟂ m, где m — линия пересечения плоскостей. Значит, a находится в одной из перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна их общей линии. Это в точности условия следствия о прямой, перпендикулярной линии пересечения.
2. По следствию такая прямая перпендикулярна другой плоскости. Следовательно, a ⟂ β. Не нужно отдельно проверять перпендикулярность a каждой прямой β: вывод уже включает перпендикулярность всей плоскости.

Ответ: a ⟂ β по следствию о прямой, перпендикулярной линии пересечения перпендикулярных плоскостей.

Смежные грани прямоугольного параллелепипеда

Условие. Докажите, что плоскости, содержащие две смежные грани прямоугольного параллелепипеда, перпендикулярны. Укажите прямую одной грани, которая служит основанием для доказательства. Смежные грани имеют общее ребро, а рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Именно это свойство позволяет использовать признак, не измеряя двугранный угол.

1. Обозначим плоскости граней α и β, а их общее ребро — m. Выберем в грани, лежащей в α, ребро a, выходящее из вершины ребра m. Оно перпендикулярно m, но одного этого ещё недостаточно для признака: нужно установить a ⟂ β.
2. В плоскости β через ту же вершину проходят две пересекающиеся прямые: m и другое ребро грани. Ребро a перпендикулярно m и этому другому ребру, поскольку сходящиеся в вершине рёбра прямоугольного параллелепипеда попарно перпендикулярны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости a ⟂ β.
3. Теперь α содержит прямую a, перпендикулярную β. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем α ⟂ β. Выбранная прямая a — ребро первой грани, смежное с общим ребром и перпендикулярное плоскости второй грани.

Ответ: плоскости смежных граней перпендикулярны; основанием служит ребро одной грани, перпендикулярное другой грани.

Типичные ошибки

Считать плоскости перпендикулярными только потому, что они пересекаются. Пересечение задаёт общую прямую, но угол между плоскостями может быть не 90°. Ошибка возникает, если слово «пересекаются» принимают за достаточное условие. Проверь себя: указан ли прямой линейный угол или применим признак?

Называть углом между плоскостями любой угол двугранного угла. Двугранный угол может быть представлен двумя дополнительными углами, поэтому нужно выбирать меньший угол между перпендикулярами к линии пересечения. Ошибку часто допускают, не строя линейный угол. Проверь, что обе прямые лежат в соответствующих плоскостях и перпендикулярны их общей линии.

Применять признак, если прямая не лежит в первой плоскости. Перпендикулярность прямой другой плоскости сама по себе не доказывает перпендикулярность двух плоскостей: требуется, чтобы эта прямая принадлежала одной из них. Не теряй это условие при чтении чертежа. Для проверки запиши явно a ⊂ α и a ⟂ β.

Путать прямую, перпендикулярную линии пересечения, с прямой, перпендикулярной плоскости. Перпендикулярность одной прямой m не означает перпендикулярность всем прямым плоскости. Такое предположение кажется естественным, если рассматривать только рисунок. Проверь, что для вывода a ⟂ β известна перпендикулярность плоскостей и используется соответствующее следствие.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения перпендикулярных прямых и плоскостей, а также признак перпендикулярности прямой и плоскости. Он помогает обосновать, что выбранная прямая действительно перпендикулярна целой плоскости. Связь с двугранным углом позволяет свести взаимное положение плоскостей к углу между прямыми в сечении. Эти знания пригодятся при доказательстве свойств многогранников и решении задач на углы между плоскостями.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под углом 90°.
• Угол между плоскостями измеряют линейным углом двугранного угла.
• Прямая одной плоскости, перпендикулярная другой плоскости, служит признаком перпендикулярности плоскостей.
• Линия пересечения перпендикулярных плоскостей важна для построения линейного угла.
• В перпендикулярных плоскостях прямая одной из них, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.